Какова масса плиты, если она лежит неподвижно на склоне горы, который составляет угол 30° с горизонтом, и может быть

Darya

22

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать равновесие сил, действующих на плиту. По условию, плита лежит неподвижно на склоне горы. Поэтому сумма горизонтальных и вертикальных сил, действующих на плиту, должна быть равна нулю.

Давайте начнем со силы тяжести плиты, которая направлена вертикально вниз. Мы можем разложить эту силу на компоненты: \(F_{\text{в}}\), действующую перпендикулярно склону горы (нормальная сила), и \(F_{\text{г}}\), действующую вдоль склона (сила тяжести, направленная вдоль склона).

Мы знаем, что сила тяжести равна массе объекта, умноженной на ускорение свободного падения (\(F_{\text{г}} = m \cdot g\)), где \(m\) - масса плиты, а \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно 9,8 м/с²).

Теперь разложим силу тяжести плиты на компоненты. Компонента, действующая перпендикулярно склону горы (\(F_{\text{в}}\)), будет направлена вверх и уравновешивать нормальную силу, действующую на плиту со стороны склона. А компонента, действующая вдоль склона (\(F_{\text{г}}\)), будет противодействовать силе трения, действующей вдоль склона.

Теперь применим условие равновесия сил. Горизонтальная составляющая силы тяжести (\(F_{\text{г}}\)) должна быть равна силе трения (\(F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{в}}\)), где \(\mu\) - коэффициент трения между плитой и склоном горы.

Теперь, учитывая, что угол между склоном горы и горизонтом составляет 30°, мы можем записать следующие соотношения:

\[
\begin{align*}
F_{\text{г}} &= m \cdot g \cdot \sin(30°) \\
F_{\text{тр}} &= \mu \cdot F_{\text{в}} \\
\end{align*}
\]

Так как плита находится в состоянии равновесия, можно записать:

\[
F_{\text{г}} = F_{\text{тр}}
\]

Теперь можем составить уравнение:

\[
m \cdot g \cdot \sin(30°) = \mu \cdot F_{\text{в}}
\]

Мы знаем, что \(F_{\text{в}} = m \cdot g \cdot \cos(30°)\), поскольку это компонента силы тяжести, действующая перпендикулярно склону горы.

Подставим это значение в уравнение:

\[
m \cdot g \cdot \sin(30°) = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(30°)
\]

Теперь сократим \(m \cdot g\) с каждой стороны уравнения:

\[
\sin(30°) = \mu \cdot \cos(30°)
\]

Для нахождения значения массы (\(m\)), нам нужно избавиться от тригонометрических функций. Зная, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) и \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим эти значения в уравнение:

\[
\frac{1}{2} = \mu \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[
\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \mu
\]

Упростим это выражение:

\[
\frac{2}{\sqrt{3}} = \mu
\]

Теперь, чтобы найти массу (\(m\)), мы можем подставить значение \(\mu\) в одно из исходных уравнений. Давайте выберем первое уравнение ( \(F_{\text{г}} = m \cdot g \cdot \sin(30°)\) ) и раскроем его:

\[
m \cdot g \cdot \sin(30°) = m \cdot g \cdot \frac{1}{2}
\]

Мы видим, что \(m \cdot g\) сокращается с каждой стороны уравнения:

\[
\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Это подтверждает, что масса (\(m\)) не влияет на равновесие плиты на склоне горы. Поэтому ответ: «Масса плиты не имеет значения.»