Доведіть, що площина α, яка проходить через вершини a і c трикутника abc, і точка n - середина сторони ab, мають центр

Кобра

60

Чтобы доказать, что плоскость \(\alpha\), проходящая через вершины \(a\) и \(c\) треугольника \(ABC\), и точка \(N\) - середина стороны \(AB\), имеют центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), которая лежит в этой плоскости, давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Докажем, что точка \(N\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Поскольку точка \(N\) является серединой стороны \(AB\), мы можем использовать определение середины отрезка и сказать, что отрезок \(AN\) равен отрезку \(NB\), то есть \(AN = NB\). Поскольку отрезок \(AN\) и отрезок \(NC\) являются радиусами вписанной окружности треугольника \(ABC\), они равны по длине. Следовательно, \(AN = NC\). Таким образом, точка \(N\) также является серединой стороны \(AC\).

Шаг 2: Докажем, что плоскость \(\alpha\) проходит через центр вписанной окружности треугольника \(ABC\).
Для этого нам нужно доказать, что другая радиусная прямая, проходящая через середину стороны \(BC\), также проходит через центр вписанной окружности.

Обратимся к определению вписанной окружности треугольника \(ABC\). Вписанная окружность касается сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) в точках \(P\), \(Q\) и \(R\) соответственно. Предположим, что точка \(M\) - середина стороны \(BC\). Так как радиусная прямая \(PM\) проходит через середину стороны \(BC\), давайте докажем, что эта радиусная прямая также проходит через центр вписанной окружности.

Поскольку \(N\) и \(M\) являются серединами сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно, они делят эти стороны пополам. Из определения вписанной окружности мы знаем, что отрезки \(AN\) и \(BN\) равны по длине, а также отрезки \(CM\) и \(BM\) равны по длине.

Теперь рассмотрим один из треугольников, образованных окружностью, - треугольник \(ANC\). Мы видим, что у него две равные стороны (\(AN = NC\)) и общая сторона (\(AC\)). Таким образом, по определению равнобедренного треугольника, у этого треугольника две равных угла. Пусть эти углы обозначаются как \(\angle ANC\) и \(\angle BNA\).

Аналогично рассмотрим треугольник \(BMC\), который также имеет две равные стороны (\(BM = MC\)) и общую сторону (\(BC\)). Поэтому у этого треугольника также два равных угла, обозначим их как \(\angle BMC\) и \(\angle CMB\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(BNM\). У него три стороны (\(BN\), \(NM\) и \(BM\)), каждая из которых равна соседней стороне треугольников \(ANC\) и \(BMC\) (с учетом равенства сторон \(AN = NC\) и \(BM = MC\)). Таким образом, треугольник \(BNM\) является равносторонним треугольником со всеми углами, равными \(60^\circ\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(PMN\). Этот треугольник также является равносторонним треугольником, так как \(PM\) и \(PN\) равны по длине (поскольку \(M\) и \(N\) - середины сторон \(BC\) и \(AB\) соответственно), и у этого треугольника угол при вершине \(M\) равен \(60^\circ\) (так как треугольник \(BNM\) - равносторонний).

Итак, у треугольника \(PMN\) все стороны равны, а угол при вершине \(M\) равен \(60^\circ\). По свойству равностороннего треугольника, все углы этого треугольника равны \(60^\circ\).

Поскольку треугольник \(PMN\) имеет все углы, равные \(60^\circ\), а треугольник \(ANC\) также имеет угол \(\angle ANC\) равный \(60^\circ\), значит, треугольник \(ANC\) подобен треугольнику \(PMN\). Таким образом, у этих треугольников соответствующие углы равны.

Поскольку прямая \(PN\) является радиусом вписанной окружности треугольника \(PMN\), а прямая \(AN\) является радиусом вписанной окружности треугольника \(ANC\), и у этих треугольников соответствующие углы равны, то прямая \(PN\) также должна проходить через центр вписанной окружности треугольника \(ANC\).

Таким образом, мы доказали, что прямая \(PN\) проходит через центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), и следовательно и через плоскость \(\alpha\), проходящую через вершины \(a\) и \(c\). В этой плоскости также находится и точка \(N\). Поэтому плоскость \(\alpha\), проходящая через вершины \(a\) и \(c\) треугольника \(ABC\), и точка \(N\) - середина стороны \(AB\), имеют центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), который также лежит в этой плоскости \(\alpha\).