Доведіть, що площини AQC і ABC є перпендикулярними, якщо точка Q розташована на рівній відстані від вершин прямокутника

Karnavalnyy_Kloun

11

Щоб довести, що площини AQC і ABC є перпендикулярними, нам потрібно показати, що вектор нормалі однієї площини є перпендикулярним до вектора нормалі іншої площини. Давайте розглянемо цей процес по крокам.

Крок 1: З"ясуємо вектори нормалі для площин AQC і ABC.
Вектор нормалі для площини AQC можна отримати взявши добуток векторів AC і AQ і використовуючи їхні координати. Нехай AC = \(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\) і AQ = \(\overrightarrow{Q} - \overrightarrow{A}\), де \(\overrightarrow{C}\) - це вектор, що йде з вершини А до вершини С, і \(\overrightarrow{Q}\) - це вектор, що йде з вершини А до точки Q. Тоді вектор нормалі для площини AQC буде:
\[N_{AQC} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AQ}\]

Аналогічно, вектор нормалі для площини ABC буде:
\[N_{ABC} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\]

Крок 2: Доведемо, що ці вектори нормалі перпендикулярні один до одного.
Щоб перевірити, чи є два вектори перпендикулярними, ми можемо взяти їхній скалярний добуток і переконатися, що він буде рівний нулю. Тобто, ми повинні показати, що:
\[N_{AQC} \cdot N_{ABC} = 0\]

Крок 3: Обчислимо цей скалярний добуток і доведемо його рівність нулю.
Підставимо значення векторів нормалей:
\[N_{AQC} \cdot N_{ABC} = (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AQ}) \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})\]

Використовуючи свойства векторного добутку і скалярного добутку, ми можемо переписати це як:
\[N_{AQC} \cdot N_{ABC} = (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) \times (\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}) \times (\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{AB})\]

Тут ми використовуємо той факт, що для векторного добутку виконуються наступні властивості: \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}\) і \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0\).

Тепер, так як точка Q розташована на рівній відстані від кінців прямокутника ABCD, то ми можемо сказати, що \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\) і \(\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\). Це означає, що:
\[N_{AQC} \cdot N_{ABC} = 0 \times 0 - (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}) \times 0\]

Останнє добуток рівний нулю, оскільки скалярний добуток вектора з собою дорівнює нормі цього вектора, піднесеному до квадрату. Тобто:
\[N_{AQC} \cdot N_{ABC} = 0 - 0 = 0\]

Це означає, що вектори нормалі N_{AQC} і N_{ABC} є перпендикулярними, що, в свою чергу, доводить, що площини AQC і ABC є перпендикулярними.