Доведіть, що сума довжини AK та BL дорівнює сумі довжини CK та AL в трикутнику

Sverkayuschiy_Pegas

68

Обозначим стороны треугольника ABC как AB, BC и CA. Обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC как точку M.

Т.к. точка M является центром масс треугольника ABC, то сумма масс точек A и C (проекции точек A и C на медиану BM) равна сумме масс точек B и M (проекции точек B и M на медиану AM). Следовательно, отношение длин отрезков AM и BM равно отношению длин отрезков CM и M.

Таким образом, \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{CM}}{{M}}\).

Теперь рассмотрим треугольник ABM и треугольник CBM. В этих треугольниках у нас имеется общая высота (медиана CM), к которой можно применить формулу для высоты треугольника и получить, что

\(AM = \frac{{2}}{{3}} \cdot BM\) и \(MC = \frac{{2}}{{3}} \cdot CM\).

Теперь заметим, что AM + MC = AC, а BM + CM = BC. Подставим найденные значения AM и MC в это равенство:

\(\frac{{2}}{{3}} \cdot BM + \frac{{2}}{{3}} \cdot CM = AC\).

Сократим дроби:

\(\frac{{2}}{{3}}(BM + CM) = AC\).

Так как BM + CM = BC, то:

\(\frac{{2}}{{3}} \cdot BC = AC\).

Умножим обе части на 3/2 (обратную дробь):

\(BC = \frac{{3}}{{2}} \cdot AC\).

Теперь рассмотрим треугольникы ADK и CDL. Заметим, что по теореме о пропорциональности медиан треугольников:

\(\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{DK}}{{DL}}\).

Таким образом,

\(AK = \frac{{CK}}{{DL}} \cdot DK\).

Аналогично,

\(BL = \frac{{CK}}{{DK}} \cdot DL\).

Теперь подставим найденные значения AK и BL в исходное утверждение:

\(AK + BL = \frac{{CK}}{{DL}} \cdot DK + \frac{{CK}}{{DK}} \cdot DL\).

Умножим каждое слагаемое на DL * DK:

\(AK + BL = CK \cdot \frac{{DL \cdot DK}}{{DL}} + CK \cdot \frac{{DL \cdot DK}}{{DK}}\).

Сократим дроби:

\(AK + BL = CK \cdot (DK + DL)\).

Таким образом, мы доказали, что сумма длин отрезков AK и BL равна длине отрезка CK умноженной на сумму длин отрезков DK и DL.

Для лучшего понимания учениками данной задачи, все эти шаги можно визуализировать с помощью конкретных чисел и построения треугольника.