Какая максимальная площадь может иметь треугольник, если две его стороны равны 10 см и 20 см? а) 40 см^2 б) 100 см^2

Volk

48

Чтобы решить данную задачу, давайте вспомним формулу для нахождения площади треугольника. Площадь треугольника можно найти используя формулу Герона:
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - его стороны, а \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляемый следующим образом:
\[p = \frac{a+b+c}{2}.\]

В данной задаче у нас уже заданы две стороны треугольника: \(a = 10\) см и \(b = 20\) см. Нам нужно найти максимально возможную площадь треугольника, а для этого нам необходимо найти третью сторону треугольника.

Для нахождения максимальной площади треугольника при заданных значениях сторон, нам необходимо выбрать третью сторону таким образом, чтобы треугольник был вырожденным – в этом случае площадь будет максимальной. Вырожденный треугольник имеет одну сторону, которая равна сумме двух других сторон. В нашем случае, третья сторона должна быть равна \(a+b = 10+20 = 30\) см.

Таким образом, чтобы получить максимальную площадь треугольника при условии, что две его стороны равны 10 см и 20 см, третья сторона должна равняться 30 см. Подставляя эти значения в формулу Герона, мы получаем:
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{15(15-10)(15-20)(15-30)} = \sqrt{15 \cdot 5 \cdot (-5) \cdot (-15)} = \sqrt{225 \cdot 25} = \sqrt{5625} = 75.\]

Таким образом, максимальная площадь треугольника будет равна 75 квадратных сантиметров. Ответ: б) 100 см².