Егер 1+ 3+5+…(2k-1)= 2 болса, (2n+1)+(2n+3)+…+(4n-1) кез-келген жауаппен айқындау кезінде анықтаңыз

Шустр

47

Хорошо, давайте разберемся с данной задачей. Нам нужно выяснить, при каком значении \(k\) будет выполняться равенство:

\[1 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) = 2k.\]

Для начала давайте посмотрим на последовательность чисел, которые мы суммируем:

\[1, 3, 5, \ldots, 2k - 1.\]

Заметим, что каждое следующее число в этой последовательности можно получить, добавив к предыдущему числу 2. Аналогично, мы можем записать это в виде общей формулы:

\[a_n = a_1 + (n-1)d,\]

где \(a_1\) - первый член последовательности, \(d\) - шаг, с которым мы прибавляем числа. В нашем случае, \(a_1 = 1\) и \(d = 2\), поэтому:

\[a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1.\]

Таким образом, каждый член последовательности может быть записан в виде \(2n - 1\).

Теперь, чтобы найти сумму всех членов этой последовательности, мы просто суммируем все числа от 1 до \(k\). Для этого воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S_k = \frac{n}{2}(a_1 + a_k),\]

где \(a_1\) - первый член последовательности, \(a_k\) - последний член последовательности, \(n\) - количество членов в последовательности.

В нашем случае, \(a_1 = 1\), \(a_k = 2k - 1\), \(n = k\), поэтому:

\[S_k = \frac{k}{2}(1 + 2k - 1) = \frac{k}{2} \cdot 2k = k^2.\]

Таким образом, мы получили формулу для суммы всех членов последовательности. Теперь нам нужно найти такое значение \(k\), при котором выполняется равенство \(k^2 = 2k\).

Для этого решим данное уравнение:

\[k^2 - 2k = 0.\]

Мы можем вынести \(k\) как общий множитель и получить:

\[k(k - 2) = 0.\]

Таким образом, уравнение будет выполняться при \(k = 0\) или \(k = 2\).

Итак, при \(k = 0\) или \(k = 2\) заданное равенство будет выполняться.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное объяснение было представлено в самом подробном и обстоятельном виде, чтобы помочь вам понять решение. Если у вас еще остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!