Если биссектриса угла одной трапеции делит ее боковую сторону пополам, то какова длина другой боковой стороны трапеции

Магия_Моря

28

Для начала, рассмотрим данную трапецию. Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - параллельные основания, а AD и BC - боковые стороны. Также предположим, что биссектриса угла ADB делит BC пополам, и пусть точка пересечения биссектрисы с BC обозначается как E.

Так как биссектриса угла ADB делит BC пополам, то мы можем сделать вывод, что BE = EC. Также, из условия задачи мы знаем, что AB = CD. Поэтому, две противоположные стороны оснований трапеции равны между собой: AB = CD и BE = EC.

Рассмотрим теперь треугольник ABE. В этом треугольнике у нас две равные стороны: AB = CD и BE = EC. Кроме того, трапеция ABCD является выпуклой, поэтому угол ABE равен углу ADB. Из этих сходств мы можем сделать вывод, что треугольники ABE и ADB являются подобными.

По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно. То есть, можно написать следующее соотношение:

\(\frac{AB}{AD} = \frac{BE}{BD}\)

Используя известные значения, заменим AB на CD и BE на EC:

\(\frac{CD}{AD} = \frac{EC}{BD}\)

Так как BE = EC, выпишем это соотношение:

\(\frac{CD}{AD} = \frac{BE}{BD} = \frac{EC}{BD}\)

Теперь у нас есть равенство долей длин BC и BD, где BC = BE + EC:

\(\frac{CD}{AD} = \frac{BE + EC}{BD}\)

Так как BE = EC, заменим BE + EC на 2BE:

\(\frac{CD}{AD} = \frac{2BE}{BD}\)

Умножим обе части уравнения на BD, чтобы избавиться от знаменателя:

\(CD = \frac{2BE}{BD} \cdot AD\)

Так как BE = EC, заменим 2BE на EC:

\(CD = \frac{EC}{BD} \cdot AD\)

Используя полученное равенство долей, заменим EC/BD на CD/AD:

\(CD = \frac{CD}{AD} \cdot AD\)

Итак, получается:

\(CD = CD\)

Таким образом, мы получили равенство оснований трапеции: CD = CD. Это означает, что длина другой боковой стороны трапеции также равна CD.

Итак, ответ на задачу: Если биссектриса угла одной трапеции делит ее боковую сторону пополам, то другая боковая сторона трапеции имеет такую же длину, как и основания трапеции.