Какова площадь области, ограниченной линиями y=x , y=11−x и x=0?

Solnechnyy_Pirog

30

Для решения этой задачи нам понадобится найти точки пересечения данных линий и затем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Для начала найдем точки пересечения линий y=x и y=11-x. Для этого приравняем уравнения этих линий:

x = 11 - x

Теперь сложим x с обоих сторон:

2x = 11

Разделим оба выражения на 2:

x = 11/2

Теперь, зная x, мы можем найти значение y. Подставим x в одно из уравнений:

y = 11 - (11/2)

y = 11/2

Таким образом, точка пересечения этих двух линий - (11/2, 11/2).

Далее, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, y=11-x и x=0, мы можем разбить эту фигуру на две части: треугольник и прямоугольник.

Треугольник ограничен линиями y=x, x=0 и осью x. Очевидно, что высота треугольника равна 11/2, так как это значение y в точке пересечения линий. Ширина треугольника равна 11/2 - 0 = 11/2. Таким образом, площадь треугольника равна:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\text{высота} \times \text{ширина}}}{2} = \frac{{11/2 \times 11/2}}{2} = \frac{121}{8}\]

Прямоугольник ограничен линиями y=11-x, x=0 и осью x. Ширина прямоугольника равна 11/2 - 0 = 11/2 (так как это разность между значениями y в точке пересечения линий и осью x). Высота прямоугольника равна 11/2. Таким образом, площадь прямоугольника равна:

\[S_{\text{прямоугольника}} = \text{ширина} \times \text{высота} = 11/2 \times 11/2 = \frac{121}{4}\]

Теперь сложим площадь треугольника и прямоугольника, чтобы получить общую площадь:

\[S_{\text{общая}} = S_{\text{треугольника}} + S_{\text{прямоугольника}} = \frac{121}{8} + \frac{121}{4} = \frac{121}{8} + \frac{242}{8} = \frac{363}{8}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, y=11-x и x=0, равна \(\frac{363}{8}\) квадратных единиц.