Если катет в прямоугольном треугольнике равен 16, а его проекция на гипотенузу равна 8, то какова длина гипотенузы

Skvoz_Ogon_I_Vodu

54

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством подобных треугольников.

Известно, что катет в прямоугольном треугольнике равен 16, а его проекция на гипотенузу равна 8.

Воспользуемся первым свойством подобных треугольников: отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников равно. Также, второе свойство подобных треугольников гласит, что углы подобных треугольников равны.

Обозначим длину гипотенузы как \(h\), длину второго катета как \(b\) и длину проекции второго катета на гипотенузу как \(c\).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике справедливо соотношение:

\[h^2 = 16^2 + b^2\]

Также, по определению геометрической прогрессии, можно записать пропорции:

\(\frac{c}{8} = \frac{b}{16}\) и \(\frac{b}{h} = \frac{8}{h}\)

Решим первое уравнение относительно \(c\):

\(\frac{c}{8} = \frac{b}{16} \Rightarrow c = \frac{8b}{16} = \frac{b}{2}\)

Теперь решим второе уравнение относительно \(b\):

\(\frac{b}{h} = \frac{8}{h} \Rightarrow b = \frac{8h}{h} = 8\)

Теперь, зная, что \(b = 8\), подставим это значение в первое уравнение:

\[h^2 = 16^2 + 8^2 \Rightarrow h^2 = 256 + 64 \Rightarrow h^2 = 320\]

Извлекая квадратный корень, получим:

\[h = \sqrt{320} = 16\sqrt{5}\]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(16\sqrt{5}\), длина второго катета равна 8, а длина проекции второго катета на гипотенузу равна \(8/2 = 4\).