Если разность катетов прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом 5 см, известна, то как найти

Кристальная_Лисица_6951

49

Чтобы найти больший из катетов прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом 5 см, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами окружности.

Дано, что треугольник вписан в окружность радиусом 5 см. Это означает, что диаметр окружности равен 2 * 5 см = 10 см. Поскольку треугольник прямоугольный, диаметр окружности является гипотенузой треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора верно:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Нам дано, что разность катетов известна. Пусть это будет разность \(a - b\). Мы можем записать это как:

\[a - b = x\]

Мы также знаем, что диаметр окружности равен гипотенузе треугольника:

\[c = 10\ \text{см}\]

Теперь мы можем объединить эти формулы и решить систему уравнений.

Подставим значение \(a - b = x\) в теорему Пифагора:

\[(a - b)^2 + b^2 = 10^2\]

Раскроем скобки:

\[a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = 100\]

Объединим подобные члены:

\[2b^2 - 2ab + a^2 = 100\]

Теперь мы можем использовать это уравнение и уравнение \(a - b = x\) для того, чтобы определить значения катетов.

Мы можем выразить \(a\) через \(x\) и \(b\):

\[a = x + b\]

Подставим это в уравнение:

\[2b^2 - 2(x + b)b + (x + b)^2 = 100\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[2b^2 - 2bx - 2b^2 + (x^2 + 2xb + b^2) = 100\]

\[x^2 + 2xb + b^2 = 100\]

Теперь мы можем использовать это уравнение для решения задачи, подставив различные значения \(x\) и найдя соответствующие значения \(a\) и \(b\).

Например, если \(x = 2\), то:

\[2^2 + 2 \cdot 2b + b^2 = 100\]

\[4 + 4b + b^2 = 100\]

\[b^2 + 4b - 96 = 0\]

Решив это квадратное уравнение, мы найдем два значения \(b\). Подставив каждое из них в уравнение \(a = x + b\), мы найдем соответствующие значения катетов \(a\).

Таким образом, решение зависит от заданной разности катетов \(x\), и мы можем использовать это уравнение для нахождения большего катета.