Если сложить логарифмы по основанию 2 от каждого из первых 10 членов прогрессии, какова будет сумма?

Fontan_9013

58

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство логарифмов: \(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\).

У нас есть арифметическая прогрессия, и мы должны найти сумму логарифмов от первых 10 членов этой прогрессии. Для логарифмов по основанию 2 это выражение будет выглядеть так:

\[\log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \log_2(a_3) + \ldots + \log_2(a_{10})\]

Здесь \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_2\) - второй член, и так далее, до \(a_{10}\).

Также, для нашего удобства, давайте заменим логарифм по основанию 2 на обычный логарифм по основанию 10, используя следующее соотношение:

\[\log_2(x) = \frac{{\log_{10}(x)}}{{\log_{10}(2)}}\]

Подставим данное соотношение в начальное выражение:

\[\frac{{\log_{10}(a_1)}}{{\log_{10}(2)}} + \frac{{\log_{10}(a_2)}}{{\log_{10}(2)}} + \frac{{\log_{10}(a_3)}}{{\log_{10}(2)}} + \ldots + \frac{{\log_{10}(a_{10})}}{{\log_{10}(2)}}\]

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов \(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\) и объединить все логарифмы в один:

\[\frac{{\log_{10}(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{10})}}{{\log_{10}(2)}}\]

Таким образом, сумма логарифмов по основанию 2 от первых 10 членов арифметической прогрессии равна

\[\frac{{\log_{10}(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{10})}}{{\log_{10}(2)}}\]