Как найти проекцию точки p(–8, 12) на прямую, которая проходит через точки a(2, –3) и b(–5

Солнечная_Луна

41

Чтобы найти проекцию точки \(p(-8, 12)\) на прямую, проходящую через точки \(a(2, -3)\) и \(b(-5, 4)\), мы можем использовать метод векторов.

Шаг 1: Найдите вектор направления прямой \(ab\).
Для этого вычислим разность координат точек \(a\) и \(b\):
\[
\vec{ab} = (x_b - x_a, y_b - y_a) = (-5 - 2, 4 - (-3)) = (-7, 7)
\]

Шаг 2: Найдите вектор, соединяющий точку \(a\) с точкой \(p\).
Для этого вычислим разность координат:
\[
\vec{ap} = (x_p - x_a, y_p - y_a) = (-8 - 2, 12 - (-3)) = (-10, 15)
\]

Шаг 3: Найдите проекцию вектора \(\vec{ap}\) на вектор \(\vec{ab}\).
Для этого воспользуемся формулой проекции:
\[
\text{proj}_{\vec{ab}} \vec{ap} = \frac{\vec{ap} \cdot \vec{ab}}{\|\vec{ab}\|^2} \cdot \vec{ab}
\]

Где \(\vec{ap} \cdot \vec{ab}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{ap}\) и \(\vec{ab}\), а \(\|\vec{ab}\|\) - длина вектора \(\vec{ab}\).

\(\vec{ap} \cdot \vec{ab} = (-10, 15) \cdot (-7, 7) = (-10 \cdot -7) + (15 \cdot 7) = 70 + 105 = 175\)

\(\|\vec{ab}\| = \sqrt{(-7)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\)

Теперь мы можем вычислить проекцию:
\[
\text{proj}_{\vec{ab}} \vec{ap} = \frac{175}{(7\sqrt{2})^2} \cdot (-7, 7) = \frac{175}{98} \cdot (-7, 7)
\]

\[
= \left(\frac{175}{98} \cdot -7, \frac{175}{98} \cdot 7\right) = \left(-\frac{1225}{98}, \frac{1225}{98}\right) = \left(-\frac{125}{14}, \frac{125}{14}\right)
\]

Шаг 4: Найдите координаты проекции точки \(p\).
Для этого сложим координаты точки \(a\) и координаты проекции:
\[
\text{proj}_p = (x_a, y_a) + \left(-\frac{125}{14}, \frac{125}{14}\right) = \left(2 - \frac{125}{14}, -3 + \frac{125}{14}\right) = \left(\frac{3}{14}, \frac{83}{14}\right)
\]

Таким образом, координаты проекции точки \(p(-8, 12)\) на прямую, проходящую через точки \(a(2, -3)\) и \(b(-5, 4)\), равны \(\left(\frac{3}{14}, \frac{83}{14}\right)\).