Если tgα=3/4, то какое значение имеет sinα? Ответ: sinα=... (не сокращайте дробь

Shokoladnyy_Nindzya

43

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Зная, что \(\text{tg}\alpha = \frac{3}{4}\), мы можем использовать определение тангенса и синуса для нахождения значения \(\sin\alpha\).

Тангенс угла \(\alpha\) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. В данной задаче мы не имеем информации о противоположном и прилежащем катетах, но мы можем использовать тригонометрическую тождеств:

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Для нахождения значения \(\sin\alpha\) мы должны сначала найти значение \(\cos\alpha\). Для этого мы можем использовать определение тангенса:

\(\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Подставим значение тангенса, которое нам дано, в это уравнение и решим его относительно \(\cos\alpha\):

\(\frac{3}{4} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Перемножим обе части уравнения на \(\cos\alpha\), чтобы избавиться от дроби:

\(3\cos\alpha = 4\sin\alpha\).

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) и заменить \(\cos\alpha\) в уравнении:

\(3\cos\alpha = 4\sqrt{1 - \cos^2\alpha}\).

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\(9\cos^2\alpha = 16(1 - \cos^2\alpha)\).

Раскрываем скобку и переписываем уравнение:

\(9\cos^2\alpha = 16 - 16\cos^2\alpha\).

Переносим все слагаемые с \(\cos^2\alpha\) на одну сторону уравнения:

\(25\cos^2\alpha = 16\).

Делим обе части уравнения на 25:

\(\cos^2\alpha = \frac{16}{25}\).

Найдем значение \(\cos\alpha\):

\(\cos\alpha = \frac{4}{5}\).

Теперь, зная значение \(\cos\alpha\), мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) для нахождения значения \(\sin\alpha\):

\(\sin^2\alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1\).

\(\sin^2\alpha + \frac{16}{25} = 1\).

Вычитаем \(\frac{16}{25}\) из обеих частей уравнения:

\(\sin^2\alpha = \frac{9}{25}\).

Извлекаем квадратный корень:

\(\sin\alpha = \pm\frac{3}{5}\).

Так как в условии не указано, в какой четверти находится угол \(\alpha\), то мы должны учесть оба варианта знаков.

Итак, если \(\text{tg}\alpha = \frac{3}{4}\), то \(\sin\alpha = \pm\frac{3}{5}\).