Если у треугольника ABC угол C равен 90°, каков tg угла A, если ctg угла A равен 15/8?

Iskryaschayasya_Feya

39

Для начала, давайте вспомним определения тангенса и котангенса, чтобы понять, как их использовать для решения данной задачи.

Тангенс угла A в прямоугольном треугольнике ABC можно определить как отношение противоположной катета (стороны, лежащей напротив угла A) к прилежащей катету (стороне, смежной с углом A). То есть \(tg(A) = \frac{{BC}}{{AB}}\).

Котангенс угла A можно определить как отношение прилежащей катеты (стороны, смежной с углом A) к противоположной катете (стороне, лежащей напротив угла A). То есть \(ctg(A) = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Дано, что \(ctg(A) = \frac{{15}}{{8}}\). Мы можем использовать это равенство, чтобы найти значения сторон треугольника.

Подставим полученное значение котангенса в формулу для котангенса: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{15}}{{8}}\). Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти соотношение между сторонами треугольника.

Для этого перемножим обе стороны уравнения на \(BC\): \(AB = \frac{{15}}{{8}} \cdot BC\).

Мы также знаем, что у треугольника ABC угол C равен 90°. Используя это знание, мы можем применить теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов катетов (двух сторон, смежных с прямым углом): \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).

Мы знаем, что угол C равен 90°, поэтому AC является гипотенузой треугольника. Используя это равенство, мы можем подставить известные значения выражений для \(AB\) и \(BC\): \(\left(\frac{{15}}{{8}} \cdot BC\right)^2 + BC^2 = AC^2\).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(BC\), чтобы найти значение этой стороны.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \(\frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2 + BC^2 = AC^2\). Здесь у нас общий знаменатель, поэтому можем сложить дроби: \(\frac{{289}}{{64}} \cdot BC^2 = AC^2\).

Поскольку AC является гипотенузой, мы можем записать это как \(BC^2 = AC^2 - \frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2\).

Теперь вычтем \(\frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2\) из обеих сторон уравнения: \(BC^2 - \frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2 = AC^2 - \frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2\).

На левой стороне получим коэффициент \(\frac{{64}}{{64}}\), поэтому можем сложить дроби: \(\frac{{64 - 225}}{{64}} \cdot BC^2 = AC^2 - \frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2\).

Сократим числитель выражения на левой стороне: \(-\frac{{161}}{{64}} \cdot BC^2 = AC^2 - \frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2\).

Теперь приведем к общему знаменателю: \(-\frac{{161}}{{64}} \cdot BC^2 = \frac{{64}}{{64}} \cdot AC^2 - \frac{{225}}{{64}} \cdot BC^2\).

Сложим дроби на правой стороне: \(-\frac{{161}}{{64}} \cdot BC^2 = \frac{{64 - 225}}{{64}} \cdot AC^2\).

Преобразуем числитель на правой стороне: \(-\frac{{161}}{{64}} \cdot BC^2 = -\frac{{161}}{{64}} \cdot AC^2\).

Теперь оба выражения имеют одинаковый знаменатель. Это означает, что числители должны быть равными: \(BC^2 = AC^2\).

Таким образом, мы видим, что для прямоугольного треугольника \(BC = AC\). Это значит, что треугольник является равнобедренным.

Теперь, учитывая это, мы можем продолжить решение.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, то \(AB = AC\).

Мы знаем, что \(AB = \frac{{15}}{{8}} \cdot BC\), поэтому можем записать уравнение: \(\frac{{15}}{{8}} \cdot BC = AC\).

Так как \(AB = AC\), мы можем записать: \(\frac{{15}}{{8}} \cdot BC = \frac{{15}}{{8}} \cdot BC\).

Теперь воспользуемся этим равенством, чтобы определить значение \(BC\).

Сократим коэффициенты \(\frac{{15}}{{8}}\): \(BC = BC\).

Как видите, полученное уравнение верно. Значит, \(BC\) может быть любым числом.

Теперь давайте рассмотрим тангенс угла A.

Мы знаем, что \(tg(A) = \frac{{BC}}{{AB}}\).

Так как \(BC\) может быть любым числом, а \(AB = \frac{{15}}{{8}} \cdot BC\), то значения \(BC\) и \(AB\) относятся друг к другу с коэффициентом \(\frac{{15}}{{8}}\).

Таким образом, мы можем записать \(tg(A) = \frac{{BC}}{{\frac{{15}}{{8}} \cdot BC}}\).

Сократим дробь: \(tg(A) = \frac{{8}}{{15}}\).

Итак, оказывается, что тангенс угла A равен \(\frac{{8}}{{15}}\).