Если углы треугольника АВС соотносятся

Svetlyachok_V_Lesu

27

Давайте рассмотрим вашу задачу и найдем решение пошагово.

По условию у нас есть треугольник ABC со следующими соотношениями между углами:

\(\angle A : \angle B = 3 : 2\)
\(\angle B : \angle C = 2 : 1\)

Для начала давайте найдем сумму всех углов треугольника:

\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\)

Чтобы найти значения углов треугольника, мы можем использовать данные из соотношений. Для этого будем обозначать углы через переменные, например, \(x\) и \(y\). В таком случае, соотношения можно записать как:

\(\frac{\angle A}{\angle B} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{2}\)
\(\frac{\angle B}{\angle C} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{2}{1}\)

Продолжим решение, решив эту систему уравнений.

1. По первому соотношению:

\(\frac{x}{y} = \frac{3}{2}\)

Перемножим обе части уравнения на \(2y\), чтобы избавиться от дроби:

\(2y \cdot \frac{x}{y} = 2y \cdot \frac{3}{2}\)

Раскрывая скобки и сокращая \(y\) , получим:

\(2x = 3y\)

2. По второму соотношению:

\(\frac{y}{z} = \frac{2}{1}\)

Перемножим обе части уравнения на \(z\), чтобы избавиться от дроби:

\(z \cdot \frac{y}{z} = z \cdot \frac{2}{1}\)

Раскрывая скобки и сокращая \(z\), получим:

\(y = 2z\)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(x\) и \(y\)). Мы можем решить эту систему, подставив значение \(2z\) вместо \(y\) в первом уравнении:

\(2x = 3(2z)\)
\(2x = 6z\)

Таким образом, мы получили выражение для \(x\) через \(z\).

Зная, что сумма всех углов треугольника равна \(180^{\circ}\), мы можем записать:

\(x + y + z = 180^{\circ}\)

Подставим соответствующие значения вместо \(x\) и \(y\) в это уравнение:

\(2x + y + z = 180^{\circ}\)
\(2(6z) + 2z + z = 180^{\circ}\)
\(12z + 2z + z = 180^{\circ}\)
\(15z = 180^{\circ}\)

Теперь найдем \(z\), разделив обе части уравнения на \(15\):

\(z = \frac{180^{\circ}}{15}\)
\(z = 12^{\circ}\)

Мы нашли значение \(z\), которое равно \(12^{\circ}\). Теперь можем найти остальные углы, используя ранее найденные соотношения:

\(y = 2z = 2 \cdot 12^{\circ} = 24^{\circ}\)
\(x = 6z = 6 \cdot 12^{\circ} = 72^{\circ}\)

Таким образом, мы получили значения углов треугольника: \(\angle A = 72^{\circ}\), \(\angle B = 24^{\circ}\), \(\angle C = 12^{\circ}\).

Треугольник ABC имеет углы, соотносящиеся таким образом: \(\angle A : \angle B : \angle C = 72^{\circ} : 24^{\circ} : 12^{\circ}\)