Если в треугольнике ABC длина AB равна 6√2 см и cos⁡∠C равен 1/3, то какова длина радиуса окружности, которая описывает

Загадочный_Парень

67

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство описанной окружности в треугольнике. Оно гласит, что в треугольнике радиус описанной окружности является произведением длин сторон треугольника и обратным значением удвоенного площади треугольника, то есть \(R = \dfrac{abc}{4S}\), где \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(S\) - площадь треугольника.

Длина стороны \(AB\) уже дана в условии задачи и равна \(6\sqrt{2}\) см. В случае прямоугольного треугольника, длина его гипотенузы в два раза больше длины катета, т.е. \(AC = 6\sqrt{2} \cdot 2 = 12\sqrt{2}\) см.

Для нахождения площади треугольника мы можем воспользоваться формулой полупериметра, которая выглядит следующим образом: \(s = \dfrac{a+b+c}{2}\), где \(s\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника. Полупериметр нужен нам для применения формулы Герона, которая позволяет найти площадь треугольника, используя только длины его сторон.

В нашем случае, полупериметр равен \(\dfrac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}\) см.

Теперь мы можем применить формулу Герона:
\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12\sqrt{2}(12\sqrt{2}-6\sqrt{2})(12\sqrt{2}-6\sqrt{2})(12\sqrt{2})} = \sqrt{12\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12\sqrt{2}} = 144\text{ см}^2.\]

Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности, используя формулу \(R = \dfrac{abc}{4S}\):
\[R = \dfrac{6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12\sqrt{2}}{4 \cdot 144} = \dfrac{432\sqrt{2}}{576} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: радиус описанной окружности в данной треугольнике равен \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) см.