Если векторы a и b образуют угол 45° и |а|=|b|, то какова площадь треугольника, построенного на векторах a -2b

Илья

13

Чтобы найти площадь треугольника, построенного на векторах \(a-2b\) и \(3a+2b\), нам необходимо использовать формулу для площади треугольника, которая основана на модуле векторного произведения этих двух векторов.

Сначала вычислим векторное произведение векторов \(a-2b\) и \(3a+2b\):

\[
\begin{align*}
c &= (a-2b) \times (3a+2b) \\
&= |a-2b| \cdot |3a+2b| \cdot \sin(\theta) \cdot \hat n
\end{align*}
\]

Где \(c\) - векторное произведение, \(\times\) - оператор векторного произведения, \(|\cdot|\) - модуль вектора, \(\sin(\theta)\) - синус угла между векторами \(a-2b\) и \(3a+2b\), \(\hat n\) - нормальный вектор плоскости треугольника.

Учитывая, что модуль вектора равен его длине, и дано, что \(|a|=|b|\), можем записать:

\[
|a-2b| = \left|1 \cdot a - 2 \cdot b\right| = \left|a - 2 \cdot \frac{a}{2}\right| = \left|a - a\right| = |0| = 0
\]
\[
|3a+2b| = \left|3 \cdot a + 2 \cdot b\right| = \left|a \cdot (3 \cdot 1) + b \cdot (3 \cdot \sqrt{2})\right| = \left|3a+3b\right| = 3|a+b|
\]

Так как \(|a|=|b|\), то \(|a+b|=2|a|\), и продолжим расчет:

\[
\begin{align*}
c &= 0 \cdot 3|a+b| \cdot \sin(\theta) \cdot \hat n \\
&= 0
\end{align*}
\]

Таким образом, получается, что векторное произведение векторов \(a-2b\) и \(3a+2b\) равно нулевому вектору.

Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна половине модуля векторного произведения. Из-за того, что векторное произведение равно нулю, площадь треугольника также будет равна нулю.

Таким образом, площадь треугольника, построенного на векторах \(a-2b\) и \(3a+2b\), равна нулю.