Если задано дифференциальное уравнение (1+x^2)f′(x)=1 и начальное условие f(0)=1, то каково значение f(1)?

Звезда

67

Хорошо, давайте решим это дифференциальное уравнение пошагово и найдем значение функции f(1) с использованием начального условия f(0) = 1.

Дано дифференциальное уравнение: (1 + x^2)f′(x) = 1

1. В первую очередь, обратите внимание на коэффициент перед производной функции f(x). Уравнение имеет вид (1 + x^2)f′(x) = 1, где коэффициент равен 1 + x^2.

2. Затем нужно найти производную функции f(x) по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования произведения двух функций:

(1 + x^2)f′(x) = d/dx [f(x)] = 1

Применим это правило, и производная функции f(x) будет равна:

f′(x) = 1 / (1 + x^2)

3. Теперь, чтобы найти значение функции f(1), мы интегрируем производную функции f′(x) по переменной x с использованием начального условия f(0) = 1.

∫[f′(x)] dx = ∫1 / (1 + x^2) dx

Проинтегрируем эту функцию:

arctan(x) + C

Где С - постоянная интегрирования.

4. Теперь применим начальное условие f(0) = 1:

arctan(0) + C = 1

Так как arctan(0) равно 0, получим:

0 + C = 1

C = 1

Таким образом, функция f(x) равна:

f(x) = arctan(x) + 1

5. Наконец, найдем значение функции f(1) подставив x = 1:

f(1) = arctan(1) + 1

arctan(1) равно π/4, следовательно:

f(1) = π/4 + 1

Таким образом, значение f(1) равно π/4 + 1.