Есть 6 попарно различных натуральных чисел. Можно ли найти натуральное число (возможно равное одному из выбранных

Акула

3

Да, можно найти натуральное число, которое кратно ровно трём из выбранных шести попарно различных натуральных чисел. Для этого воспользуемся следующим рассуждением:

Пусть выбранные числа обозначим \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) и пронумеруем их для удобства.
Наша задача состоит в том, чтобы найти натуральное число \(N\), которое будет кратно трём числам из выбранных.

Для начала рассмотрим сумму всех чисел из выбранных:
\[S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6\]

Если сумма всех чисел будет кратна трём, то мы уже нашли нужное число \(N\). В противном случае, мы можем рассмотреть остатки от деления каждого числа выбранных на три.

\[a_1 \mod 3 = r_1\]
\[a_2 \mod 3 = r_2\]
\[a_3 \mod 3 = r_3\]
\[a_4 \mod 3 = r_4\]
\[a_5 \mod 3 = r_5\]
\[a_6 \mod 3 = r_6\]

Возможные остатки равны нулю, одному или двум. Теперь рассмотрим различные комбинации остатков и немного посчитаем.

1) Если среди остатков есть три нуля, то сумма всех чисел выбранных кратна трём и мы нашли искомое число \(N\).

2) Если среди остатков есть два нуля и одна двойка (или два нуля и одна один), то также сумма всех чисел выбранных кратна трём. Например:

\[(3 + 3 + 1) \mod 3 = (7) \mod 3 = 1\]

3) Если среди остатков есть один ноль, одна один и одна двойка (или один ноль, одна двойка и одна один), то в данном случае сумма всех чисел выбранных также кратна трём. Например:

\[(3 + 3 + 2) \mod 3 = (8) \mod 3 = 2\]

4) Если среди остатков есть три двойки (или три один), то сумма всех чисел выбранных также кратна трём. Например:

\[(3 + 3 + 2) \mod 3 = (8) \mod 3 = 2\]

Итак, мы рассмотрели все возможные комбинации остатков и видим, что в каждом случае сумма всех чисел выбранных последовательностей кратна трём. Это означает, что мы всегда можем найти натуральное число (возможно равное одному из выбранных), которое будет кратно ровно трём числам из выбранных.

Таким образом, ответ на задачу - да, мы всегда можем найти такое число \(N\).