Есть металлическая проволока длиной l. Можно ли из нее изготовить прямоугольник с площадью s? Рассчитайте длину

Анатолий

34

Конечно! Нам дана металлическая проволока длиной \( l \) и мы хотим изготовить прямоугольник с площадью \( s \). Мы можем рассчитать длину \( a \) и ширину \( b \) этого прямоугольника с помощью квадратного уравнения.

Допустим, длина прямоугольника равна \( a \), а его ширина равна \( b \). Тогда площадь прямоугольника можно выразить следующим образом:

\[ s = a \cdot b \]

Мы также знаем, что периметр прямоугольника составляет длину проволоки:

\[ l = 2a + 2b \]

Из второго уравнения мы можем выразить одну переменную через другую:

\[ b = \frac{{l - 2a}}{2} \]

Теперь мы можем подставить это значение \( b \) в уравнение для площади:

\[ s = a \cdot \left( \frac{{l - 2a}}{2} \right) \]

В результате получаем квадратное уравнение:

\[ a^2 - \frac{{la}}{2} + \frac{s}{2} = 0 \]

Чтобы найти значения для \( a \) и \( b \), решим это квадратное уравнение. Подставим значения \( l = 128 \) метров и \( s = 1020 \):

\[ a^2 - \frac{{128a}}{2} + \frac{1020}{2} = 0 \]

Но для простоты решения, давайте сократим уравнение на 2:

\[ a^2 - 64a + 510 = 0 \]

Теперь давайте воспользуемся формулой квадратного уравнения:

\[ a = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

В этом уравнении, коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) равны соответственно 1, -64 и 510.

\[ a = \frac{{-(-64) \pm \sqrt{{(-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 510}}}}{2 \cdot 1} \]

После вычислений, получаем два значения для \( a \): \( a_1 = 2 \) и \( a_2 = 62 \).

Теперь, чтобы найти значения \( b \), подставим найденные значения \( a \) в наше предыдущее уравнение для \( b \):

\[ b_1 = \frac{{l - 2a_1}}{2} = \frac{{128 - 2 \cdot 2}}{2} = 62 \]
\[ b_2 = \frac{{l - 2a_2}}{2} = \frac{{128 - 2 \cdot 62}}{2} = 2 \]

Итак, мы получили два возможных прямоугольника. Один с длиной \( a = 2 \) и шириной \( b = 62 \), а другой с длиной \( a = 62 \) и шириной \( b = 2 \).

Надеюсь, это решение понятно школьнику! Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, спрашивайте!