Есть урна, в которой лежит 10 белых и 11 черных шаров. Берут случайным образом пять шаров. Какова вероятность того

Лапуля_5522

26

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить вероятность того, что среди выбранных пяти шаров будет ровно три белых.

Первым шагом определим общее количество возможных комбинаций выбора пяти шаров из урны. Для этого воспользуемся комбинаторной формулой сочетаний:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\],

где \(n\) - общее количество объектов (в данном случае шаров), а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем для комбинации.

В нашем случае, \(n = 10 + 11 = 21\) (общее количество шаров в урне), а \(k = 5\) (количество выбираемых шаров).

Итак, общее количество комбинаций выбора пяти шаров из урны равно:

\[C_{21}^5 = \frac{21!}{5!(21-5)!} = \frac{21!}{5!16!}\]

Теперь нам нужно определить количество благоприятных исходов, а именно выбрать ровно три белых шара из десяти доступных.

Количество благоприятных исходов можно вычислить следующим образом: выберем три белых шара из десяти, а остальные два шара, чтобы в сумме было пять, будут черными.

\[C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}\]

Таким образом, количество благоприятных исходов равно \(C_{10}^3\).

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что среди пяти выбранных шаров будет ровно три белых. Для этого мы делим количество благоприятных исходов на общее количество возможных комбинаций:

\[P = \frac{C_{10}^3} {C_{21}^5} = \frac{\frac{10!}{3!7!}} {\frac{21!}{5!16!}}\]

Давайте вычислим этот числитель:

\[10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! = 10 \times 9 \times 8\]

\[3! = 3 \times 2\]

\[7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Теперь можно упростить этот числитель:

\[\frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2} = 120\]

Теперь рассмотрим знаменатель:

\[21! = 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16!\]

\[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

\[16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Теперь мы можем упростить этот знаменатель:

\[\frac{21!}{5!16!} = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5,776\]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных пяти шаров будет ровно три белых, составляет:

\[P = \frac{120}{5776} \approx 0.0208\]

Таким образом, вероятность равна примерно 0.0208 или около 2.08%.