Где и когда произойдет встреча двух автомобилей, движущихся по шоссе с законами движения x1=6t+2t^2 и x2=37,5-4t?

Лисичка

60

Для решения данной задачи, нам необходимо найти момент времени, когда положения двух автомобилей будут равными друг другу. Положение автомобиля можно определить, зная функцию зависимости положения \(x\) от времени \(t\).

Дано:
\(x_1 = 6t + 2t^2\) - функция зависимости положения первого автомобиля,
\(x_2 = 37.5 - 4t\) - функция зависимости положения второго автомобиля.

Для определения момента встречи двух автомобилей, необходимо найти такой момент времени \(t\), при котором \(x_1 = x_2\). Для этого приравняем эти две функции и решим полученное уравнение:

\(6t + 2t^2 = 37.5 - 4t\).

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

\(2t^2 + 10t - 37.5 = 0\).

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант \(D\) равен:

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = 10\), \(c = -37.5\).

Подставим значения в формулу:

\(D = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-37.5) = 100 + 300 = 400\).

Так как \(D > 0\), то уравнение имеет два корня. Найдем эти корни, используя формулу:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставляем значения:

\(t_1 = \frac{-10 + \sqrt{400}}{2 \cdot 2} = \frac{-10 + 20}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\),

\(t_2 = \frac{-10 - \sqrt{400}}{2 \cdot 2} = \frac{-10 - 20}{4} = \frac{-30}{4} = -7.5\).

Ответ: у нас получилось два значения времени, \(t_1 = 2.5\) и \(t_2 = -7.5\). Время не может быть отрицательным, поэтому отбрасываем \(t_2\). Таким образом, автомобили встретятся через 2.5 секунды после начала движения. Чтобы найти положение автомобилей в этот момент времени, подставим \(t_1\) в любую из исходных функций и найдем \(x\):

\(x_1 = 6 \cdot 2.5 + 2 \cdot (2.5)^2\),

\(x_1 = 15 + 2 \cdot 6.25 = 15 + 12.5 = 27.5\).

Таким образом, встреча двух автомобилей произойдет через 2.5 секунды после начала движения, когда положение первого автомобиля будет равно 27.5 метрам.