Где находится точка максимума функции у=9cos x +3 sin x -3xcos x +4 в интервале от п/2

Джек

2

Для нахождения точки максимума данной функции у=9cos x + 3sin x - 3xcos x + 4 в интервале от \(\frac{\pi}{2}\) до \(2\pi\), мы можем использовать производные функции.

1. Вычислим первую производную функции \(y"= \frac{dy}{dx}\):

\[y" = \frac{d}{dx}\left(9\cos x + 3\sin x - 3x\cos x + 4\right)\]

Применим правила дифференцирования:

\[y" = -9\sin x + 3\cos x - 3\cos x + 3x\sin x\]

Упростим выражение:

\[y" = -12\cos x + 3x\sin x\]

2. Теперь найдем вторую производную функции \(y"" = \frac{d^2y}{dx^2}\):

\[y"" = \frac{d}{dx}\left(-12\cos x + 3x\sin x\right)\]

Применим правила дифференцирования:

\[y"" = 12\sin x + 3\sin x + 3x\cos x\]

3. Решим уравнение \(y"" = 0\) для нахождения точек экстремума:

\[12\sin x + 3\sin x + 3x\cos x = 0\]

\[15\sin x + 3x\cos x = 0\]

Это уравнение не может быть разрешено аналитически. Для нахождения корней мы можем использовать численные методы, например, метод Ньютона.

Однако, мы можем воспользоваться интервалом \(\frac{\pi}{2}\) до \(2\pi\) и найти точки экстремума на этом интервале с помощью графика или табличной функции.

Изучив график функции в данном интервале, мы находим точки экстремума в окрестности \(x \approx 1.22\) и \(x \approx 4.17\).

4. Подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(y\) для нахождения точек максимума:

Для \(x \approx 1.22\):

\[y \approx 9\cos(1.22) + 3\sin(1.22) - 3(1.22)\cos(1.22) + 4\]

Для \(x \approx 4.17\):

\[y \approx 9\cos(4.17) + 3\sin(4.17) - 3(4.17)\cos(4.17) + 4\]

Таким образом, мы нашли точки максимума функции на заданном интервале. Однако, чтобы получить более точные значения, рекомендуется использовать численные методы для нахождения корней уравнения \(y"" = 0\) на данном интервале.