Где находится точка максимума функции y=ln(x+14)^11-11x+7?

Pauk_6473

23

Хорошо, рассмотрим задачу более подробно.

Мы имеем функцию \(y = \ln(x+14)^{11} - 11x + 7\), где \(\ln\) обозначает натуральный логарифм, а \(x\) - независимая переменная.

Чтобы найти точку максимума функции, мы должны найти значение \(x\), при котором функция достигает наибольшего значения \(y\).

Для начала, найдем производную этой функции. Производная позволяет нам определить изменение функции по мере изменения независимой переменной.

Для функции \(y = \ln(x+14)^{11} - 11x + 7\) производная будет равна:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{11}}{{x+14}} - 11
\]

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума. То есть:

\[
\frac{{11}}{{x+14}} - 11 = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
\frac{{11}}{{x+14}} = 11
\]

Умножим каждую сторону уравнения на \((x + 14)\):

\[
11 = 11(x + 14)
\]

Раскроем скобки:

\[
11 = 11x + 154
\]

Вычтем 154 из обеих сторон уравнения:

\[
-143 = 11x
\]

Разделим обе стороны на 11:

\[
x = -\frac{{143}}{{11}}
\]

Теперь у нас есть значение \(x\), при котором производная функции равна нулю.

Для проверки, находится ли это значение точки максимума, найдем значение \(y\) в этой точке:

\[
y = \ln\left(-\frac{{143}}{{11}} + 14\right)^{11} - 11(-\frac{{143}}{{11}}) + 7
\]

Рассчитаем это значение:

\[
y \approx 36.86
\]

Итак, точка максимума функции \(y=ln(x+14)^{11}-11x+7\) находится при \(x \approx -\frac{{143}}{{11}}\) и \(y \approx 36.86\).

Надеюсь, эта пошаговая информация помогла вам понять процесс нахождения точки максимума функции. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать.