Где находится точка минимума у функции y=x^3-6,5x^2-56x+8?

Таинственный_Маг

30

Чтобы найти точку минимума функции \(y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8\), нам понадобится найти ее первую производную и приравнять ее к нулю. Затем мы найдем соответствующие значения x и y.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y\) по \(x\).
Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности. Производная постоянного члена равна нулю, поэтому остаются только члены с \(x\):
\(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 13x - 56\).

Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим уравнение относительно \(x\):
\(3x^2 - 13x - 56 = 0\).

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\],
где \(a = 3\), \(b = -13\) и \(c = -56\).

Шаг 3: Вычислим значения \(x\):
\[x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-56)}}{2 \cdot 3}\]
\[x = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 672}}{6}\]
\[x = \frac{13 \pm \sqrt{841}}{6}\]
\[x = \frac{13 \pm 29}{6}\]

Таким образом, мы получаем два значения для \(x\): \(x_1 = \frac{42}{6} = 7\) и \(x_2 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}\).

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\). Подставим \(x_1 = 7\) и \(x_2 = -\frac{8}{3}\) в исходную функцию \(y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8\) и вычислим:

Для \(x_1 = 7\):
\[y = 7^3 - 6.5 \cdot 7^2 - 56 \cdot 7 + 8 = 343 - 321.5 - 392 + 8 = -362.5\].

Для \(x_2 = -\frac{8}{3}\):
\[y = \left(-\frac{8}{3}\right)^3 - 6.5 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 56 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) + 8 = -\frac{512}{27} - \frac{128}{3} + \frac{448}{3} + 8 = -\frac{835}{27}\].

Таким образом, точка минимума функции \(y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8\) находится на позиции \((7, -362.5)\) и \(\left(-\frac{8}{3}, -\frac{835}{27}\)\).