Геометрия. Задание 3. Имеется куб ABCDA1B1C1D1. 1) Определите векторы, эквивалентные вектору BC. 2) Определите, какие

Ярус

28

Хорошо, давайте решим данное геометрическое задание.

1) Чтобы найти векторы, эквивалентные вектору BC (вектору, направленному от вершины B к вершине C), нам необходимо найти разность координат этих двух вершин.

Пусть вектор BC задается координатами \((x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\), где \(B(x_1, y_1, z_1)\) и \(C(x_2, y_2, z_2)\).

Для куба ABCDA1B1C1D1 координаты вершин заданы следующим образом:

\(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 0, 0)\), \(C(1, 1, 0)\), \(D(0, 1, 0)\), \(A_1(0, 0, 1)\), \(B_1(1, 0, 1)\), \(C_1(1, 1, 1)\), \(D_1(0, 1, 1)\).

Применяя формулу, получим:

\(\overrightarrow{BC} = (1 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (0, 1, 0)\).

Таким образом, векторы, эквивалентные вектору BC, имеют координаты \((0, 1, 0)\).

2) Чтобы определить, какие из трех векторов будут лежать в одной плоскости, мы можем использовать смешанное произведение векторов.

Пусть у нас есть три вектора: \(\overrightarrow{v_1} = (a_1, b_1, c_1)\), \(\overrightarrow{v_2} = (a_2, b_2, c_2)\) и \(\overrightarrow{v_3} = (a_3, b_3, c_3)\).

Смешанное произведение этих векторов определяется по формуле:

\(\overrightarrow{v_1} \cdot (\overrightarrow{v_2} \times \overrightarrow{v_3})\),

где \(\times\) обозначает векторное произведение.

Если значение этого смешанного произведения равно нулю, то векторы лежат в одной плоскости. Если же значение отлично от нуля, то векторы не лежат в одной плоскости.

Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{BC} = (0, 1, 0)\), \(\overrightarrow{AC} = (1, 1, 0)\) и \(\overrightarrow{DC} = (0, 1, 0)\).

Вычислим смешанное произведение:

\(\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{DC}) = (0, 1, 0) \cdot ((1, 1, 0) \times (0, 1, 0))\).

Вычислим векторное произведение:

\((1, 1, 0) \times (0, 1, 0) = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\),

\((0, 0, 1)\).

Теперь вычислим скалярное произведение:

\((0, 1, 0) \cdot (0, 0, 1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1\),

\(0\).

Таким образом, смешанное произведение равно нулю, что означает, что векторы \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DC}\) лежат в одной плоскости.

Надеюсь, это разъясняет ваше задание.