Given triangle ABC with points A(-2; 5), B(4; -1), C(-2;3), point M is the midpoint of segment AB, point K

Zabytyy_Zamok

38

Дано треугольник ABC с точками A(-2; 5), B(4; -1), C(-2;3). Обозначим точку M как середину отрезка AB, а точку K как середину отрезка AC. Найдем:

a) Координаты точек M и K:

Чтобы найти координаты середины отрезка, мы можем использовать формулу:

\[M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка.

Для точки M, координаты A равны (-2, 5), а координаты B равны (4, -1). Подставим эти значения в формулу:

\[M = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right)\]

\[M = (1, 2)\]

То же самое мы сделаем для точки K, с использованием координат A и C:

\[K = \left(\frac{-2 + (-2)}{2}, \frac{5 + 3}{2}\right)\]

\[K = (-2, 4)\]

Таким образом, координаты точки M равны (1, 2), а координаты точки K равны (-2, 4).

b) Длины медиан MS и KV:

Медиана треугольника - это линия, соединяющая вершину треугольника со средней точкой противоположной стороны. Чтобы найти длину медианы, мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

Мы можем найти длины медиан MS и KV, используя координаты вершин треугольника и ранее найденные координаты точек M и K:

Для MS:

M - середина отрезка AB, поэтому координаты M равны (1, 2),
S - вершина треугольника, поэтому координаты S равны (-2, 3).

Подставим эти значения в формулу:

\[MS = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\]

Таким образом, длина медианы MS равна \(\sqrt{10}\).

Аналогично, найдем длину медианы KV:

K - середина отрезка AC, поэтому координаты K равны (-2, 4),
V - вершина треугольника, поэтому координаты V равны (4, -1).

Подставим эти значения в формулу:

\[KV = \sqrt{((-2) - 4)^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}\]

Таким образом, длина медианы KV равна \(\sqrt{61}\).

c) Длина срединной линии MC:

Срединная линия - это линия, соединяющая середины двух сторон треугольника. Чтобы найти длину срединной линии, нам необходимо найти серединную точку отрезка MC и вычислить расстояние между этой точкой и вершиной треугольника B.

Мы уже нашли координаты точки M (1, 2) и точки C (-2, 3). Зная, что точка B имеет координаты (4, -1), мы можем найти координаты точки срединной линии MC:

\[C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

\[C = \left(\frac{(-2) + 4}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right)\]

\[C = (1, 1)\]

Таким образом, координаты точки C равны (1, 1).

Теперь мы можем вычислить длину срединной линии MC, используя формулу для расстояния между двумя точками:

\[MC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\]

Таким образом, длина срединной линии MC равна \(\sqrt{13}\).

d) Длины сторон треугольника:

Длина стороны треугольника может быть найдена с использованием формулы для расстояния между двумя точками.

a - длина стороны BC:

\[BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + ((-1) - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

b - длина стороны AC:

\[AC = \sqrt{((-2) - (-2))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2\]

c - длина стороны AB:

\[AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + ((-1) - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

Таким образом, длины сторон треугольника равны:

BC = 2\(\sqrt{13}\),
AC = 2,
AB = 6\(\sqrt{2}\).