Куб ABCD A1B1C1D1 имеет ребро a. Точка Е находится на отрезке AD и AE:ED = 1:2, а точка F находится на отрезке

Ягненка_3211

30

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нам дан куб ABCD A1B1C1D1 с ребром a. Представим его в трехмерной системе координат таким образом:
- Вершина A имеет координаты (0, 0, 0)
- Вершина B имеет координаты (a, 0, 0)
- Вершина C имеет координаты (a, a, 0)
- Вершина D имеет координаты (0, a, 0)
- Вершины A1, B1, C1 и D1 находятся над вершинами A, B, C и D соответственно на расстоянии a по оси z.

2. Мы также знаем, что точка E находится на отрезке AD и AE:ED = 1:2. То есть, отрезок AE в два раза длиннее, чем отрезок ED. Это означает, что координаты точки E будут (0, 0, a/3), так как она находится на одной трети высоты от точки A к точке D.

3. Точка F находится на отрезке CC1 и CF:FC1 = 2:3. Это означает, что отрезок CF в два раза длиннее, чем отрезок FC1. Также учитывая, что точка C находится в (a, a, 0), координаты точки F будут (a, a/3, 0), так как она находится на одной трети от отрезка CC1, параллельно оси x.

4. Чтобы выразить вектор EF в виде суммы векторов ВА, ВС и АА1, сначала мы найдем векторы ВА, ВС и АА1.

- Вектор ВА: Вектор, идущий от точки B до точки A. Это будет \(\mathbf{ВА} = (-a, 0, 0)\).

- Вектор ВС: Вектор, идущий от точки B до точки C. Это будет \(\mathbf{ВС} = (0, a, 0)\).

- Вектор АА1: Вектор, идущий от точки A до точки A1. Это будет \(\mathbf{АА1} = (0, 0, a)\).

5. Теперь мы можем выразить вектор EF в виде суммы данных векторов. Учитывая нашу систему координат и координаты точек E и F, мы можем записать вектор EF следующим образом:

\[
\mathbf{EF} = \mathbf{EА} + \mathbf{EC} + \mathbf{АA1}
\]

Заменим значения векторов:

\[
\mathbf{EF} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{a}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}
\]

Упростим выражение:

\[
\mathbf{EF} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ \frac{4a}{3} \end{pmatrix}
\]

6. Найдем длину вектора EF. Используя формулу для вычисления длины вектора:

\[
|\mathbf{EF}| = \sqrt{0^2 + a^2 + \left(\frac{4a}{3}\right)^2}
\]

Упростим выражение:

\[
|\mathbf{EF}| = \sqrt{a^2 + \frac{16a^2}{9}} = \sqrt{\frac{9a^2 + 16a^2}{9}} = \sqrt{\frac{25a^2}{9}} = \frac{5a}{3}
\]

Таким образом, длина вектора EF равна \(\frac{5a}{3}\).

Ответ: Вектор EF представлен в виде суммы векторов ВА, ВС и АА1, и его длина равна \(\frac{5a}{3}\).