How to solve the equation cos(10x+12)+4sqrt(2)sin(5x+6)=4?

Misticheskiy_Lord_2019

65

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Исходное уравнение: \( \cos(10x+12) + 4\sqrt{2}\sin(5x+6) = 4 \)

Первым шагом мы можем преобразовать его, используя тригонометрические формулы. Для этого мы заменим \( \cos(10x+12) \) и \( \sin(5x+6) \) через \(\cos\alpha\) и \(\sin\beta\). Пусть \( \alpha = 10x + 12 \) и \( \beta = 5x + 6 \). Тогда:

\( \cos\alpha = \cos(10x + 12) \)
\( \sin\beta = \sin(5x + 6) \)

Теперь у нас получается уравнение вида:

\( \cos\alpha + 4\sqrt{2}\sin\beta = 4 \)

Используем тригонометрическую формулу для суммы углов:

\( \cos(\alpha) + 4\sqrt{2}\sin(\beta) = 4 \)
\( \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + 4\sqrt{2}\sin\beta = 4 \)

Теперь мы можем использовать формулы для \( \cos(\alpha)\cos(\beta) \) и \( \sin(\alpha)\sin(\beta) \):

\( \cos\alpha\cos\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\sin\beta \)

Таким образом, уравнение примет следующий вид:

\( (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\sin\beta + 4\sqrt{2}\sin\beta = 4 \)

После упрощения получим:

\( \sin\alpha\sin\beta + 4\sqrt{2}\sin\beta = 4 \)

Это уравнение уже более простое для решения. Мы можем вынести \(\sin\beta\) за скобку:

\( \sin\beta(\sin\alpha + 4\sqrt{2}) = 4 \)

Теперь можем найти значение \(\sin\beta\) и подставить обратно значения:

\( \sin(5x + 6) = \frac{4}{\sin(10x + 12) + 4\sqrt{2}} \)

Таким образом, школьник может решить данное уравнение, следуя этим шагам.