Имеется квадрат АВСD. Из точки М проведен перпендикуляр МD = 6 см. МB является наклонной под углом 60 градусов

Ledyanoy_Drakon

33

Решение:
1) Для доказательства того, что треугольник MАВ и треугольник МCB являются многогранными, нам нужно показать, что у них есть по две пары равных сторон и равные углы.

Обратимся к изображению ниже:

\[ AB = AD \] (так как это стороны квадрата)
\[ MC = MB \] (так как МВ – наклонная, соединяющая точку М с вершиной В квадрата)
\[ \angle MBA = \angle MAB \] (угол между наклонной МВ и стороной МА)
\[ \angle MCB = \angle MAC \] (угол между наклонной МС и стороной МА)

Таким образом, мы доказали, что у треугольника MАВ и треугольника МCB есть по две пары равных сторон и равные углы. Значит, они многогранные.

2) Для нахождения стороны квадрата АВСD мы можем воспользоваться свойством квадрата, согласно которому все его стороны равны между собой.

Из предыдущей части задачи мы знаем, что AB = MB, поскольку треугольник MАВ – многогранный. Кроме того, у нас есть информация о том, что угол МВА равен 60 градусам.

Рассмотрим треугольник МВА. Он является равнобедренным, поскольку AB = MB. У равнобедренного треугольника угол между равными сторонами делится пополам, следовательно, в треугольнике МВА угол МВА будет равен \(60/2 = 30\) градусам.

Для нахождения стороны квадрата мы можем воспользоваться формулой для нахождения стороны в равнобедренном треугольнике, где c – основание равнобедренного треугольника, а α – угол между равными сторонами:

\[ c = \frac{{a}}{{\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}} \]

В нашем случае a = MB = 6 см и α = 30 градусов:

\[ c = \frac{{6}}{{\sqrt{2(1-\cos 30)}}} \]

Учитывая, что \(\cos 30 = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\):

\[ c = \frac{{6}}{{\sqrt{2(1-\frac{{\sqrt{3}}}{{2}})}}} \]

Подсчитаем это значение:

\[ c = \frac{{6}}{{\sqrt{2(1-\frac{{\sqrt{3}}}{{2}})}}} \approx 8.66 \, \text{см} \]

Таким образом, сторона квадрата AB = BC = CD = DA примерно равна 8.66 см.

3) Чтобы найти площадь треугольника АBD, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника по длинам его сторон, известной как формула Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)} \]

где p – полупериметр треугольника, а a, b и d – длины его сторон.

В нашем случае стороны треугольника АBD равны AB = BD (так как это стороны квадрата) и MD = 6 см.

Таким образом, a = b = AB = BD = 8.66 см и d = MD = 6 см.

Полупериметр треугольника равен:

\[ p = \frac{{a + b + d}}{2} = \frac{{8.66 + 8.66 + 6}}{2} = 11.66 \, \text{см} \]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)} = \sqrt{11.66(11.66-8.66)(11.66-8.66)(11.66-6)} \]

Вычислим эту величину:

\[ S = \sqrt{11.66(3)(3)(5.66)} \approx 29.40 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь треугольника АBD равна примерно 29.40 квадратных сантиметров.