Is it true that the logarithm of 512 multiplied by the square of x, and then added to the logarithm of (x^2 + 14x

Пылающий_Дракон

13

Конечно! Давайте решим данную задачу пошагово.

Первым шагом, нужно составить уравнение, на которое мы будем искать ответ. Исходя из условия задачи, у нас есть следующее уравнение:
\[\log_2(512 \cdot x^2) + \log_2(x^2 + 14x + 49) \leq 0\]

Вторым шагом, мы можем преобразовать данное уравнение, используя свойства логарифма. Сумма логарифмов может быть заменена на произведение аргументов логарифмов. Также, мы можем использовать правило перемещения показателя степени вперед в виде множителя.

\[\log_2(512 \cdot x^2) + \log_2(x^2 + 14x + 49) \leq 0\]
\[\log_2(512 \cdot x^2 \cdot (x^2 + 14x + 49)) \leq 0\]
\[\log_2(512x^2(x^2 + 14x + 49)) \leq 0\]

Третьим шагом, мы можем упростить выражение внутри логарифма и найти его значения, которые удовлетворяют неравенству.

Для начала, упростим выражение \(512x^2(x^2 + 14x + 49)\):
\[512x^4 + 7168x^3 + 31360x^2 \leq 0\]

Четвертый шаг, мы можем проанализировать знак выражения. Для этого, воспользуемся методом интервалов. Для начала, найдем критические точки, в которых выражение обращается в ноль.

Обратите внимание, что \(512x^4 + 7168x^3 + 31360x^2\) — это многочлен четвертой степени. В многочленах четвертой степени может быть до четырех корней. Однако, в данном случае, нам интересны только рациональные корни. Для их нахождения, мы можем воспользоваться рациональной теоремой корней.

Можно заметить, что \(x = 0\) является очевидным решением. Теперь, проведем деление синтетическим методом при помощи полученного корня \(x = 0\):

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 512 & 7168 & 31360 & & \\
\hline
0 & & & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]

В результате, мы получили следующее уравнение:
\[512x^3 + 7168x^2 + 31360x = 0\]

Решим это уравнение, факторизуя его:

\[512x(x^2 + 14x + 61) = 0\]

Из этого равенства, мы получаем два рациональных корня: \(x = 0\) и \(x = -7\).

Теперь, мы имеем три корня: \(x = 0\), \(x = -7\) и корень \(x^2 + 14x + 61\), который можно найти, решив уравнение \(x^2 + 14x + 61 = 0\). Это квадратное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому мы оставляем его в виде \(x^2 + 14x + 61\).

Важно отметить, что знак выражения \(x^2 + 14x + 61\) не влияет на знак основного выражения \(512x^4 + 7168x^3 + 31360x^2\), потому что коэффициент \(512\) стоит перед \(x^4\), что делает его основным элементом в определении знака. Таким образом, знаки основного выражения и всего выражения \(\log_2(512x^2(x^2 + 14x + 49))\) будут совпадать.

Начнем с анализа знаков нашего многочлена. Для этого, мы будем использовать таблицу интервалов. Определим основные точки на числовой прямой, которые разделяют ее на интервалы. Затем, мы выберем тестовые точки внутри каждого интервала и определим знак выражения в этих точках. На основе этой информации, мы сможем определить искомые интервалы, в которых неравенство выполняется.

Интервалы считаются открытыми, если они исключают концевые точки. Интервалы считаются закрытыми, если они включают концевые точки. Интервалы могут быть безконечными в сторону отрицательной или положительной бесконечности.

Составим таблицу интервалов и найдем значения выражения \[512x^4 + 7168x^3 + 31360x^2\) для каждого интервала:

\[
\begin{array}{c|c}
\text{Интервал} & \text{Значение выражения} \\
\hline
(-\infty, -7) & (-) \\
(-7, 0) & (+) \\
(0, +\infty) & (+) \\
\end{array}
\]

Теперь, мы можем использовать полученную информацию о знаках, чтобы определить в каких интервалах выполняется неравенство \[\log_2(512x^2(x^2 + 14x + 49)) \leq 0\].

Исходя из таблицы интервалов, мы видим, что неравенство выполняется только на интервале \((-7, 0]\). Потому что только на этом интервале значение выражения \[512x^4 + 7168x^3 + 31360x^2\) положительное, что позволяет нам получить неотрицательное значение \[\log_2(512x^2(x^2 + 14x + 49))\).

Таким образом, исходя из решения уравнения и анализа знаков, мы можем сказать, что заданное неравенство \[\log_2(512 \cdot x^2) + \log_2(x^2 + 14x + 49) \leq 0\] истинно только на интервале \((-7, 0]\).