Is the inequality 2(8^x+50^x) greater than 20^x+3*125^x still valid?

Золотой_Рай

16

Для начала, давайте запишем данное неравенство:

\[2(8^x + 50^x) > 20^x + 3 \cdot 125^x\]

Чтобы определить, выполняется ли это неравенство, нам нужно проанализировать каждую сторону неравенства отдельно и сравнить их.

Давайте начнем с правой стороны неравенства:

\[20^x + 3 \cdot 125^x\]

Мы знаем, что \(20^x\) означает "20 в степени x", а \(125^x\) — "125 в степени x". Давайте разложим \(125^x\) для удобства:

\[20^x + 3 \cdot (5^3)^x\]

Теперь можем привести это выражение к более удобному виду:

\[20^x + 3 \cdot 5^{3x}\]

Теперь вернемся к неравенству и посмотрим на левую сторону:

\[2(8^x + 50^x)\]

Здесь также сначала приведем 8 и 50 к удобному виду:

\[2(2^3)^x + 2 \cdot (5^2)^x\]

Таким образом, мы получили:

\[2 \cdot 2^{3x} + 2 \cdot 5^{2x}\]

Теперь, чтобы определить верность данного неравенства, нужно соотнести каждую сторону.

Мы должны сравнить следующие выражения внутри неравенства:

\[2^{3x} + 5^{2x}\]

\[20^x + 3 \cdot 5^{3x}\]

Чтобы дать ответ на вопрос, нужно проанализировать возможные значения x. Возможны три случая:

1) Если \(x > 0\), то выражение \(20^x + 3 \cdot 5^{3x}\) будет расти быстрее, чем \(2^{3x} + 5^{2x}\). Поэтому неравенство не будет выполняться.

2) Если \(x < 0\), то выражение \(20^x + 3 \cdot 5^{3x}\) будет меньше, чем \(2^{3x} + 5^{2x}\). Поэтому неравенство будет выполняться.

3) Если \(x = 0\), то обе стороны неравенства примут значение 2. Таким образом, неравенство также будет выполняться.

Итак, неравенство 2(8^x + 50^x) > 20^x + 3 * 125^x будет выполняться только в случаях, когда \(x < 0\) или \(x = 0\).