Используя информацию, представленную на рисунке 16, перечислите следующее: 1) координаты точки пересечения прямой

Скат

21

Хорошо, давайте разберем задачу пошагово.

1) Координаты точки пересечения прямой РМ с плоскостями DCC1 и АА1В1:
Для начала, давайте определим уравнения плоскостей DCC1 и АА1В1, используя предоставленную информацию на рисунке 16.

На рисунке 16 мы можем видеть, что прямая РМ проходит через точки A1 и C1, а также через точку Р.
Точка А1 имеет координаты (2, 0, 0) и принадлежит плоскости АА1В1, а точка C1 имеет координаты (2, 3, 5) и принадлежит плоскости DCC1.

Давайте найдем векторы, параллельные этим плоскостям. Вектор, параллельный плоскости АА1В1, можно найти, вычислив разность координат точек A и A1:

\[
\vec{v_1} = \vec{AA1} = \left( A_x - A1_x, A_y - A1_y, A_z - A1_z \right) = \left(2, 1, 1\right)
\]

Аналогично, вектор, параллельный плоскости DCC1, можно найти, вычислив разность координат точек C и C1:

\[
\vec{v_2} = \vec{CC1} = \left( C_x - C1_x, C_y - C1_y, C_z - C1_z \right) = \left(4, 2, -2\right)
\]

Теперь мы можем составить уравнения плоскостей через найденные векторы и одну из точек на плоскости.
Уравнение плоскости можно записать в виде:

\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]

Где A, B, C и D - коэффициенты плоскости, а x, y и z - координаты произвольной точки на плоскости (например, точки Р).

Для плоскости АА1В1, используя точку Р с координатами (1, -1, 3), уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[
2x + y + z + D_1 = 0
\]

Подставим координаты точки Р в уравнение:

\[
2 \cdot 1 + (-1) + 3 + D_1 = 0 \implies 2 - 1 + 3 + D_1 = 0 \implies D_1 = -4
\]

Таким образом, уравнение плоскости АА1В1 будет иметь вид:

\[
2x + y + z - 4 = 0
\]

Для плоскости DCC1, используя точку Р с координатами (1, -1, 3), уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[
4x + 2y - 2z + D_2 = 0
\]

Подставим координаты точки Р в уравнение:

\[
4 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 + D_2 = 0 \implies 4 - 2 - 6 + D_2 = 0 \implies D_2 = 4
\]

Таким образом, уравнение плоскости DCC1 будет иметь вид:

\[
4x + 2y - 2z + 4 = 0
\]

Теперь, чтобы найти координаты точки пересечения прямой РМ с плоскостями DCC1 и АА1В1, воспользуемся системой уравнений.
Систему можно составить из уравнения прямой РМ и уравнения каждой плоскости:

\[
\begin{cases}
2x + y + z - 4 = 0 \\
4x + 2y - 2z + 4 = 0 \\
2z + 3 = 0
\end{cases}
\]

Третье уравнение \(2z + 3 = 0\) мы получаем, используя информацию, что прямая РМ проходит через точку М с координатами (0, 0, -\frac{3}{2}).

Теперь решим эту систему уравнений. We"ll_Parameterize_Equations