Изменилась ли длина маятника, если: а) период его колебаний изначально составлял 0,3 с, а после изменения длины стал

Огонек

34

Давайте разберемся сначала в определениях и формулах, которые нам понадобятся для решения задачи о маятнике.

Период колебаний, обозначенный как \( T \), - это время, за которое маятник совершает одно полное колебание в одну сторону и обратно. Он измеряется в секундах.

Частота колебаний, обозначенная как \( f \), - это количество колебаний маятника за единицу времени. Она измеряется в герцах (Гц) или колебаний в секунду.

Формула, связывающая период и частоту, имеет вид:

\[ T = \frac{1}{f} \],

где \( T \) - период колебаний, а \( f \) - частота колебаний.

Теперь рассмотрим каждую часть задачи.

a) Длина маятника и период колебаний связаны формулой:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \],

где \( L \) - длина маятника от точки подвеса до центра масс, а \( g \) - ускорение свободного падения.

Мы хотим узнать, изменилась ли длина маятника при изменении периода колебаний.

Исходно период колебаний \( T_{\text{old}} = 0.3 \) секунды, а новый период колебаний \( T_{\text{new}} = 0.1 \) секунды.

Чтобы узнать, изменилась ли длина маятника, нам нужно сравнить формулы для старого и нового периода и решить уравнение:

\[ 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}_{\text{old}} = T_{\text{old}} \].

Решим его относительно \( L \):

\[ L = \left(\frac{T_{\text{old}}}{2\pi}\right)^2 \cdot g.

Подставим значения:

\[ L = \left(\frac{0.3}{2\pi}\right)^2 \cdot g.

Аналогично найдем новую длину маятника:

\[ L_{\text{new}} = \left(\frac{0.1}{2\pi}\right)^2 \cdot g.

Теперь сравним старую и новую длину маятника:

\[ \text{Если } L_{\text{new}} < L, \text{ значит длина маятника изменилась.} \]

b) Мы знаем, что частота колебаний обратно пропорциональна периоду, поэтому:

\[ f = \frac{1}{T} \].

Исходно частота колебаний \( f_{\text{old}} = 5 \) Гц, а новая частота колебаний \( f_{\text{new}} \), которая уменьшилась.

Поэтому, чтобы узнать, изменилась ли длина маятника, сравним формулы для старой и новой частоты колебаний:

\[ \frac{1}{T_{\text{old}}} = f_{\text{old}} \],
\[ \frac{1}{T_{\text{new}}} = f_{\text{new}} \].

Из этих уравнений мы видим, что

\[ T_{\text{old}} = \frac{1}{f_{\text{old}}} \],
\[ T_{\text{new}} = \frac{1}{f_{\text{new}}} \].

Теперь аналогично старой ситуации сравним старый и новый периоды колебаний:

\[ \text{Если } T_{\text{new}} < T_{\text{old}}, \text{ значит частота колебаний уменьшилась.} \]

На основе этих рассуждений, мы можем сделать вывод о том, изменилась ли длина маятника в каждой ситуации.