Изменив предложенную модель роста и убытия, решите следующую задачу: «В установке по производству дрожжей на пищевом

Скрытый_Тигр

33

Для решения этой задачи мы можем использовать модель экспоненциального роста, учитывая, что масса дрожжей увеличивается на определенный процент в течение определенного периода.

Пусть \(m\) будет массой дрожжей в установке после \(n\) суток. Тогда модель роста и убытия можно представить следующим образом:

\[m = m_0 \cdot (1 + r)^n - p \cdot n,\]

где \(m_0\) - начальная масса дрожжей, \(r\) - процент увеличения массы дрожжей за сутки, \(n\) - количество суток, \(p\) - масса дрожжей, добавляемая ежедневно в производство.

В данной задаче \(m_0 = 1000\) кг (1 тонна), \(r_1 = 150\% = 1.5\) (увеличение на 150% при оптимальной температуре), \(r_2 = 160\% = 1.6\) (увеличение на 160% при повышенной температуре), \(p = 1500\) кг (1,5 тонны).

Теперь мы можем исследовать, через сколько дней масса дрожжей достигнет или превысит исходную массу \(m_0\).

\[
m = 1000 \cdot (1 + 1.5)^n - 1500 \cdot n
\]

Для удобства расчетов, и чтобы найти значение \(n\), начнем сравнивать значение \(m\) с \(m_0\) на каждом шаге.

\[
m = 1000 \cdot (1 + 1.5)^1 - 1500 \cdot 1 = 1000 \cdot 2.5 - 1500 = 2500 - 1500 = 1000
\]

После первого дня масса дрожжей будет равна \(1000\) кг, что равно \(m_0\). Следовательно, достаточно одного дня для достижения исходной массы.

Пусть \(n_1\) будет количество дней, необходимых для достижения исходной массы при оптимальной температуре, а \(n_2\) будет количество дней, необходимых для достижения исходной массы при повышенной температуре.

Теперь рассмотрим случай при повышенной температуре:

\[
m = 1000 \cdot (1 + 1.6)^n - 1500 \cdot n
\]

\[
m = 1000 \cdot (2.6)^n - 1500 \cdot n
\]

Найдём количество дней, необходимых для достижения исходной массы \(m_0 = 1000\) кг при повышенной температуре:

\[
m = 1000 \cdot (2.6)^1 - 1500 \cdot 1 = 2600 - 1500 = 1100
\]

Следовательно, через первый день при повышенной температуре масса дрожжей составит \(1100\) кг, что больше исходной массы \(m_0\). Таким образом, нам нужен хотя бы один день для достижения исходной массы при повышенной температуре.

Таким образом, чтобы найти количество дней, необходимых для достижения исходной массы \(m_0\) при повышенной температуре, мы можем продолжить подстановки:

\[
m = 1000 \cdot (2.6)^2 - 1500 \cdot 2 = 6760 - 3000 = 3760
\]

\[
m = 1000 \cdot (2.6)^3 - 1500 \cdot 3 = 17560 - 4500 = 13060
\]

\[
m = 1000 \cdot (2.6)^4 - 1500 \cdot 4 = 45616 - 6000 = 39616
\]

Как видно из вычислений, количество дней, необходимых для достижения или превышения исходной массы \(m_0 = 1000\) кг при повышенной температуре, составляет 4 дня.

Таким образом, чтобы достигнуть массы дрожжей в установке вновь, потребуется 1 день при оптимальной температуре и 4 дня при повышенной температуре, что в сумме составляет 5 дней.