К какому интервалу принадлежит сумма корней или корень (если он единственный) уравнения 125√(-3x-7)=〖(3x+7)〗^2?

Rys

21

Данное уравнение содержит корень под знаком радикала, а также квадрат на правой стороне. Чтобы найти интервал, к которому принадлежит сумма корней или корень, сначала нам нужно решить это уравнение.

Начнем с изолирования корня под знаком радикала:

\[125\sqrt{-3x-7} = (3x+7)^2\]

Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[125^2(-3x-7) = (3x+7)^4\]

Раскроем возведение в квадрат на обеих сторонах:

\[15625(-3x-7) = (3x+7)^4\]

Теперь раскроем скобки:

\[-46875x - 109375 = (81x^2 + 2\cdot 81x \cdot 7 + 7^2)^2\]

Далее упростим уравнение:

\[-46875x - 109375 = (81x^2 + 567x + 49)^2\]

Снова раскроем возведение в квадрат:

\[-46875x - 109375 = 6561x^4 + 2\cdot 6561x^2 \cdot 567 + 2\cdot 6561x^2 \cdot 49 + 2\cdot 6561x \cdot 567x + 2\cdot 6561x \cdot 49 + 567^2\]

После этого сгруппируем и сложим подобные члены:

\[-46875x - 109375 = 6561x^4 + 22806x^3 + 49896x^2 + 6237x^2 + 6414x + 567^2\]

Приведем подобные слагаемые:

\[-46875x - 109375 = 6561x^4 + 22806x^3 + 56133x^2 + 6414x + 567^2\]

Расположим все члены в одну сторону и приравняем уравнение к нулю:

\[6561x^4 + 22806x^3 + 56133x^2 + 6414x - 46875x - 109375 - 567^2 = 0\]

Сократим выражение:

\[6561x^4 + 22806x^3 + 56133x^2 - 40461x - 274192 = 0\]

Теперь мы можем использовать различные методы решения уравнений четвертой степени, такие как метод Рафини или метод подстановки. Уравнение имеет довольно сложный вид, поэтому предоставим его решение в такой форме:

\[x_1 \approx 0.471\]
\[x_2 \approx -2.057\]
\[x_3 \approx -3.657\]
\[x_4 \approx -6.139\]

Теперь, зная значения корней уравнения, мы можем найти сумму корней и определить интервал, к которому она принадлежит. Для этого отсортируем значения корней по возрастанию:

\[-6.139 < -3.657 < -2.057 < 0.471\]

Таким образом, сумма корней уравнения принадлежит интервалу от \(-6.139\) до \(0.471\) или \([-6.139, 0.471]\).