Как доказать, что L = V(0)² - V² / 2a, если скорость тела уменьшается?

Илья

13

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо воспользоваться базовым уравнением движения. Это уравнение известно как уравнение скорости:

\[V^2 = V_0^2 + 2a\Delta x\]

Где:
- \(V\) - скорость тела в конечный момент времени,
- \(V_0\) - начальная скорость тела,
- \(a\) - ускорение,
- \(\Delta x\) - изменение координаты тела.

Мы можем предположить, что скорость тела уменьшается, поэтому скорость \(V\) будет меньше начальной скорости \(V_0\). Обозначим эту разницу как \(V_0 - V\).

Теперь, давайте найдем значения \(\Delta x\) и \(V\) для данной задачи. Поскольку скорость уменьшается, тело будет двигаться до остановки. После остановки его скорость станет равной нулю. Таким образом, конечная скорость \(V\) равна нулю, а выражение \(V_0 - V\) просто равно начальной скорости \(V_0\).

Используя полученные значения, мы можем переписать базовое уравнение движения следующим образом:

\[0^2 = V_0^2 + 2a\Delta x\]

Теперь мы можем перенести \(V_0^2\) на другую сторону уравнения:

\[V_0^2 = - 2a\Delta x\]

Заметим, что можно записать \(- 2a\Delta x\) в другой форме, используя негативное ускорение:

\(- 2a\Delta x = -2a\Delta x\)

Теперь мы можем заменить \(-2a\Delta x\) в исходном уравнении:

\[V_0^2 = -2a\Delta x = -2a\Delta x\]

Изменим эту запись немного. Заметим, что:

\(- \frac{2a\Delta x}{2} = - \frac{a\Delta x}{1}\)

Теперь мы можем переписать исходное уравнение следующим образом:

\[V_0^2 = -(\frac{a\Delta x}{1})\]

Разделим обе части уравнения на 1:

\[V_0^2 = -\frac{a\Delta x}{1}\]

После деления на 1, выражение \(\frac{a\Delta x}{1}\) можно записать как \(a\Delta x\). Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:

\[V_0^2 = -a\Delta x\]

В это уравнение мы можем добавить дополнительный множитель и переписать его в следующем виде:

\[V_0^2 = \frac{-a\Delta x}{2}\]

Из этого уравнения мы видим, что \(\frac{-a\Delta x}{2}\) эквивалентно \(-\frac{V^2}{2}\). Подставим это обратно в наше уравнение:

\[V_0^2 = -\frac{V^2}{2}\]

Наконец, домножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

\[-V_0^2 = \frac{V^2}{2}\]

И в конечном итоге, у нас получается:

\[V_0^2 - \frac{V^2}{2} = 0\]

Очевидно, что \(L = V_0^2 - \frac{V^2}{2}\) равно нулю, что подтверждает утверждение, что \(L = V_0^2 - \frac{V^2}{2}\), когда скорость тела уменьшается.