Как доказать, что сумма площадей двух треугольников, образованных точкой, соединенной со всеми вершинами

Yuriy

52

Чтобы доказать, что сумма площадей двух треугольников, образованных точкой, соединенной со всеми вершинами параллелограмма, равна, мы можем использовать метод подобия треугольников. Давайте рассмотрим следующий параллелограмм:

B _________ C
/ \
/ \
/_______
A D

Предположим, что P - точка, соединяющая вершины параллелограмма А, В, С и D. Обозначим треугольники, образованные точкой P, как треугольник АРС и треугольник ВРD.

Теперь рассмотрим треугольник АРС. Мы знаем, что сторона РС параллельна стороне ВС, так как Р и С соединены прямой линией. Поэтому мы можем сказать, что угол ПРС равен углу BCД (угол при параллельных сторонах). Аналогично, угол PCА равен углу BDА. Теперь мы имеем два угла в треугольнике АРС и два угла в треугольнике ВРD, которые равны между собой.

Используя свойство подобия треугольников, мы также можем сказать, что соответствующие стороны треугольников АРС и ВРD пропорциональны. Это значит, что отношение длин сторон РС/BD равно отношению длин сторон РА/ВD. Мы также можем записать это в виде:

\(\frac{PC}{BD} = \frac{PA}{VD}\) --------(1)

Теперь давайте рассмотрим площади треугольников АРС и ВРD. Обозначим площади этих треугольников как S_1 и S_2 соответственно. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Поэтому, мы можем записать:

\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot PC \cdot PA\) --------(2)

\(S_2 = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot VD\) --------(3)

Теперь, используя уравнение (1), мы можем заменить PC/BD в уравнениях (2) и (3):

\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot \frac{PC}{BD} \cdot BD\) --------(4)

\(S_2 = \frac{1}{2} \cdot VD \cdot \frac{PC}{BD} \cdot BD\) --------(5)

Заметим, что \(\frac{PC}{BD} \cdot BD\) равно длине стороны VD треугольника ВРD (так как PC и BD входят в состав стороны VD). Поэтому, мы можем записать:

\(\frac{PC}{BD} \cdot BD = VD\)

Теперь, заменив в уравнениях (4) и (5) их соответствующие значения, получаем:

\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot VD\) --------(6)

\(S_2 = \frac{1}{2} \cdot VD \cdot BD\) --------(7)

Теперь суммируем площади S_1 и S_2:

\(S_{\text{сумма}} = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot VD + \frac{1}{2} \cdot VD \cdot BD\)

Мы можем вынести общий множитель \(\frac{1}{2}\):

\(S_{\text{сумма}} = \frac{1}{2} \cdot (PA \cdot VD + VD \cdot BD)\)

Обратим внимание, что \(PA \cdot VD + VD \cdot BD\) равно площади параллелограмма ABCD, поскольку они образуют соответствующие стороны параллелограмма. Таким образом, мы можем записать:

\(S_{\text{сумма}} = \frac{1}{2} \cdot S_{\text{параллелограмм}}\)

Из полученного равенства следует, что сумма площадей треугольников АРС и ВРD, образованных точкой, соединенной со всеми вершинами параллелограмма, равна половине площади самого параллелограмма.

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей двух треугольников, образованных точкой, соединенной со всеми вершинами параллелограмма, равна половине площади параллелограмма.