Как должна варьироваться масса космического корабля с течением времени, при условии постоянной скорости истечения газов

Черныш

6

Для решения данной задачи нам необходимо использовать закон сохранения импульса. Пусть масса корабля на начальном этапе равна \( m_0 \), а его скорость на этом этапе равна \( v_0 \). Кроме того, пусть масса газов, выбрасываемых из сопла корабля, равна \( Δm \), а скорость выброса газа относительно корабля составляет \( v_e \).

По закону сохранения импульса, изменение импульса системы равно изменению импульса газа:
\[ (m_0 + Δm)(v_0 + Δv) - m_0v_0 = -v_eΔm \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ m_0v_0 + m_0Δv + Δm v_0 + Δm Δv - m_0v_0 = -v_eΔm \]
\[ m_0Δv + Δm v_0 + Δm Δv = -v_eΔm \]
\[ m_0Δv + Δm v_0 = -v_eΔm - Δm Δv \]
\[ m_0Δv + Δm(v_0 + Δv) = -v_eΔm - Δm Δv \]
\[ m_0Δv + Δm(v_0 + Δv) = -Δm(v_e + Δv) \]

Теперь мы можем разделить оба выражения на массу корабля \( m_0 \) и аккуратно перенести каждую переменную на одну сторону уравнения:
\[ Δv + \frac{Δm}{m_0} \cdot v_0 = -\frac{Δm}{m_0} \cdot (v_e + Δv) \]
\[ Δv + \frac{Δm}{m_0} \cdot v_0 + \frac{Δm}{m_0} \cdot (v_e + Δv) = 0 \]
\[ Δv \left( 1 + \frac{Δm}{m_0} \right) + \frac{Δm}{m_0} \cdot (v_0 + v_e) = 0 \]

Для выполнения дальнейших расчетов приведем уравнение к более удобному виду. Заметим, что скорость истечения газа из сопла \( v_e \) относительно корабля не изменяется во времени. Поэтому можно заменить ее на константу \( v_e \). Будем считать, что \( Δv \) и \( Δm \) являются малыми величинами по сравнению с \( v_0 \) и \( m_0 \) соответственно. Тогда можно пренебречь их произведением \( \frac{Δm}{m_0} \cdot Δv \). Это позволяет упростить уравнение:
\[ Δv + \frac{Δm}{m_0} \cdot (v_0 + v_e) = 0 \]

Теперь выразим изменение скорости \( Δv \) через остальные величины:
\[ Δv = -\frac{Δm}{m_0} \cdot (v_0 + v_e) \]

Мы получили выражение для изменения скорости корабля в зависимости от изменения его массы и скоростей. Однако, в задаче нам требуется найти изменение массы корабля с течением времени.

Для нахождения изменения массы, воспользуемся законом сохранения массы. Масса корабля будет уменьшаться на величину \( Δm \) при каждом моменте времени \( Δt \). Значит, изменение массы корабля можно выразить следующим образом:
\[ Δm = -μΔt \]

Здесь \( μ \) - это скорость истечения газа из сопла корабля.

Подставляем это выражение обратно в предыдущее уравнение для \( Δv \) и получаем следующий вид:
\[ Δv = μΔt \left( \frac{v_0 + v_e}{m_0} \right) \]

Теперь мы можем связать изменение скорости с изменением времени и найти, как должна варьироваться масса космического корабля с течением времени:
\[ Δv = -\frac{μ}{m_0} v_0 Δt - \frac{μ}{m_0} v_e Δt \]

Получили окончательное выражение, показывающее, как должна варьироваться масса космического корабля с течением времени при условии постоянной скорости истечения газов из сопла относительно корабля.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи.