Как изменилась длина волны принимаемых радиоволн, если индуктивность катушки колебательного контура увеличилась

Сквозь_Волны

19

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать зависимость длины волны от индуктивности катушки и емкости конденсатора в колебательном контуре. В колебательном контуре с индуктивностью \(L\) и емкостью \(C\), длина волны \(\lambda\) выражается следующей формулой:

\[
\lambda = \frac{{2\pi \sqrt{{LC}}}}{{\sqrt{{LC}}}}
\]

Из данной формулы можно сделать следующие наблюдения:

1. Длина волны обратно пропорциональна квадратному корню из произведения индуктивности и емкости (\(\sqrt{LC}\)).
2. При увеличении индуктивности в \(n\) раз, длина волны уменьшается в \(n\) раз (при постоянной емкости).
3. При увеличении емкости в \(m\) раз, длина волны также уменьшается в \(m\) раз (при постоянной индуктивности).

Теперь давайте применим эти наблюдения к данной задаче.

Условие говорит, что индуктивность катушки колебательного контура увеличилась вчетверо (\(L_{\text{новая}} = 4L_{\text{старая}}\)), а емкость конденсатора возросла вдевять раз (\(C_{\text{новая}} = 9C_{\text{старая}}\)).

В результате преобразования формулы для длины волны, мы получим:

\[
\lambda_{\text{новая}} = \frac{{2\pi \sqrt{{L_{\text{новая}}C_{\text{новая}}}}}}{{\sqrt{{L_{\text{новая}}C_{\text{новая}}}}}}
\]

Пользуясь данными из условия, мы можем заменить \(L_{\text{новая}}\) и \(C_{\text{новая}}\) в этой формуле:

\[
\lambda_{\text{новая}} = \frac{{2\pi \sqrt{{4L_{\text{старая}} \cdot 9C_{\text{старая}}}}}}{{\sqrt{{4L_{\text{старая}} \cdot 9C_{\text{старая}}}}}} = \frac{{2\pi \sqrt{{36L_{\text{старая}}C_{\text{старая}}}}}}{{\sqrt{{36L_{\text{старая}}C_{\text{старая}}}}}}
\]

Заметим, что \(\sqrt{{36L_{\text{старая}}C_{\text{старая}}}} = 6\sqrt{{L_{\text{старая}}C_{\text{старая}}}}\). Подставляя это обратно в формулу, получим:

\[
\lambda_{\text{новая}} = \frac{{2\pi \cdot 6\sqrt{{L_{\text{старая}}C_{\text{старая}}}}}}{{6\sqrt{{L_{\text{старая}}C_{\text{старая}}}}}} = 2\pi
\]

Таким образом, новая длина волны \(\lambda_{\text{новая}}\) равна \(2\pi\) (без единиц измерения).

В итоге, при данных изменениях индуктивности и емкости, длина волны не меняется и остается равной \(2\pi\).