Как изменилась длина волны принимаемых радиоволн, если индуктивность катушки колебательного контура увеличилась

Сквозь_Волны

19

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать зависимость длины волны от индуктивности катушки и емкости конденсатора в колебательном контуре. В колебательном контуре с индуктивностью $L$ и емкостью $C$, длина волны $\lambda$ выражается следующей формулой:

$$\lambda =\frac{2\pi \sqrt{LC}}{\sqrt{LC}}$$

Из данной формулы можно сделать следующие наблюдения:

1. Длина волны обратно пропорциональна квадратному корню из произведения индуктивности и емкости ($\sqrt{LC}$).
2. При увеличении индуктивности в $n$ раз, длина волны уменьшается в $n$ раз (при постоянной емкости).
3. При увеличении емкости в $m$ раз, длина волны также уменьшается в $m$ раз (при постоянной индуктивности).

Теперь давайте применим эти наблюдения к данной задаче.

Условие говорит, что индуктивность катушки колебательного контура увеличилась вчетверо ($L_{\text{новая}}=4L_{\text{старая}}$), а емкость конденсатора возросла вдевять раз ($C_{\text{новая}}=9C_{\text{старая}}$).

В результате преобразования формулы для длины волны, мы получим:

$${\lambda }_{\text{новая}}=\frac{2\pi \sqrt{L_{\text{новая}}{C}_{\text{новая}}}}{\sqrt{L_{\text{новая}}{C}_{\text{новая}}}}$$

Пользуясь данными из условия, мы можем заменить $L_{\text{новая}}$ и $C_{\text{новая}}$ в этой формуле:

$${\lambda }_{\text{новая}}=\frac{2\pi \sqrt{4L_{\text{старая}}\cdot 9C_{\text{старая}}}}{\sqrt{4L_{\text{старая}}\cdot 9C_{\text{старая}}}}=\frac{2\pi \sqrt{36L_{\text{старая}}{C}_{\text{старая}}}}{\sqrt{36L_{\text{старая}}{C}_{\text{старая}}}}$$

Заметим, что $\sqrt{36L_{\text{старая}}{C}_{\text{старая}}}=6\sqrt{L_{\text{старая}}{C}_{\text{старая}}}$. Подставляя это обратно в формулу, получим:

$${\lambda }_{\text{новая}}=\frac{2\pi \cdot 6\sqrt{L_{\text{старая}}{C}_{\text{старая}}}}{6\sqrt{L_{\text{старая}}{C}_{\text{старая}}}}=2\pi$$

Таким образом, новая длина волны ${\lambda }_{\text{новая}}$ равна $2\pi$ (без единиц измерения).

В итоге, при данных изменениях индуктивности и емкости, длина волны не меняется и остается равной $2\pi$.