Как изменить расстояние между двумя точечными электрическими зарядами, чтобы сила их кулоновского взаимодействия

Вулкан_4332

23

Точечными электрическими зарядами, чтобы сила их кулоновского взаимодействия осталась неизменной?

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Кулона, которым определяется сила взаимодействия между двумя точечными зарядами. Формула для расчета силы \( F \) между зарядами \( q_1 \) и \( q_2 \) на расстоянии \( r \) выглядит следующим образом:

\[ F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]

где \( k \) - постоянная Кулона, равная примерно \( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \).

Первый случай: Заряд одного из электрических зарядов увеличивается в 2 раза, а мы хотим, чтобы сила взаимодействия между зарядами осталась неизменной. Пусть исходные заряды обозначаются \( q_1 \) и \( q_2 \), а новые заряды после изменения - \( 2q_1 \) и \( q_2 \). Мы можем записать формулу для силы до изменений \( F_1 \) и после изменений \( F_2 \):

\[ F_1 = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]
\[ F_2 = \frac{{k \cdot |2q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]

Поскольку мы хотим, чтобы сила осталась неизменной, мы можем приравнять \( F_1 \) и \( F_2 \) и решить это уравнение относительно нового расстояния \( r_2 \):

\[ \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} = \frac{{k \cdot |2q_1 \cdot q_2|}}{{r_2^2}} \]

На первый взгляд можно подумать, что заряды \( q_1 \) и \( q_2 \) сократятся, но поскольку они являются модулями, нужно учесть их знаки. Оба заряда будут одного знака, поэтому мы можем сократить модули и посчитать новое расстояние \( r_2 \):

\[ |q_1| \cdot |q_2| = |2q_1| \cdot |q_2| \]
\[ r_2^2 = 2^2 \cdot r^2 \]
\[ r_2 = 2r \]

Таким образом, чтобы сила кулоновского взаимодействия между зарядами осталась неизменной при увеличении заряда в 2 раза, расстояние между зарядами должно быть удвоено.

Второй случай: Заряд одного из электрических зарядов уменьшается в 2 раза, а мы хотим, чтобы сила взаимодействия также осталась неизменной. Аналогично предыдущему рассуждению, пусть исходные заряды обозначаются \( q_1 \) и \( q_2 \), а новые заряды после изменения - \( \frac{{q_1}}{2} \) и \( q_2 \). Мы можем записать формулы для силы до изменений \( F_1 \) и после изменений \( F_2 \):

\[ F_1 = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]
\[ F_2 = \frac{{k \cdot |\frac{{q_1}}{2} \cdot q_2|}}{{r^2}} \]

Опять же, приравнивая эти силы и решая уравнение относительно нового расстояния \( r_2 \), получаем:

\[ \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} = \frac{{k \cdot |\frac{{q_1}}{2} \cdot q_2|}}{{r_2^2}} \]
\[ |q_1| \cdot |q_2| = |\frac{{q_1}}{2}| \cdot |q_2| \]
\[ r_2^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot r^2 \]
\[ r_2 = \frac{1}{2}r \]

Таким образом, чтобы сила кулоновского взаимодействия между зарядами осталась неизменной при уменьшении заряда в 2 раза, необходимо расстояние между ними быть уменьшено в 2 раза.

Третий случай: Заряд одного из электрических зарядов увеличивается в корень из 2 раз, а мы хотим, чтобы сила взаимодействия осталась неизменной. Начальные заряды обозначим как \( q_1 \) и \( q_2 \), а новые заряды после изменения - \( \sqrt{2}q_1 \) и \( q_2 \). Аналогично предыдущим случаям, приравняем силы \( F_1 \) и \( F_2 \), чтобы найти новое расстояние \( r_2 \):

\[ F_1 = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]
\[ F_2 = \frac{{k \cdot |\sqrt{2}q_1 \cdot q_2|}}{{r_2^2}} \]

Решая уравнение относительно \( r_2 \), получаем:

\[ \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} = \frac{{k \cdot |\sqrt{2}q_1 \cdot q_2|}}{{r_2^2}} \]
\[ |q_1| \cdot |q_2| = |\sqrt{2}q_1| \cdot |q_2| \]
\[ r_2^2 = (\sqrt{2})^2 \cdot r^2 \]
\[ r_2 = \sqrt{2}r \]

Таким образом, чтобы сила кулоновского взаимодействия между зарядами осталась неизменной при увеличении одного из зарядов в корень из 2 раз, расстояние между ними должно быть увеличено в корень из 2 раз.

Надеюсь, это объяснение позволяет понять, как изменить расстояние между зарядами, чтобы сила их кулоновского взаимодействия оставалась неизменной в каждом из трех случаев. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!