На сколько раз изменится сила тяжести, действующая на тело, когда оно переносится с Земли на Луну? Известно, что масса

Сквозь_Космос_5726

49

Для решения этой задачи нам необходимо использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который гласит: сила тяготения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Из условия известно, что масса Луны составляет 81,3 раза меньше массы Земли. Обозначим массу Земли как \(m_1\) и массу Луны как \(m_2\). Тогда \(m_2 = \frac{1}{81,3}m_1\).

Также нам дано, что радиус Луны меньше радиуса Земли в 3,7 раза. Обозначим радиус Земли как \(R_1\) и радиус Луны как \(R_2\). Тогда \(R_2 = \frac{1}{3,7}R_1\).

Теперь применим закон всемирного тяготения. Сила тяготения на Земле обозначается как \(F_1\), а на Луне как \(F_2\).

\[F_1 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{R_1^2}},\]

где \(G\) - гравитационная постоянная.

\[F_2 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{R_2^2}}.\]

Мы хотим узнать, на сколько раз изменится сила тяжести при переносе с Земли на Луну, то есть нам нужно найти \(\frac{{F_2}}{{F_1}}\).

Подставим выражения для массы и радиуса Луны в формулы для \(F_2\):

\[F_2 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot \frac{1}{{81,3}}m_1}}{{(\frac{1}{{3,7}}R_1)^2}}.\]

Сократим выражение:

\[F_2 = G \cdot m_1 \cdot \frac{{1}}{{81,3}}m_1 \cdot \left(\frac{{3,7}}{{R_1}}\right)^2.\]

Объединим все коэффициенты:

\[F_2 = \frac{{G \cdot (m_1)^2 \cdot 3,7^2}}{{81,3 \cdot R_1^2}}.\]

Теперь подставим выражения для \(F_1\) и \(F_2\) в формулу \(\frac{{F_2}}{{F_1}}\):

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{\frac{{G \cdot (m_1)^2 \cdot 3,7^2}}{{81,3 \cdot R_1^2}}}}{{\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{R_1^2}}}}.\]

Сократим выражения:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{(m_1)^2 \cdot 3,7^2}}{{81,3 \cdot m_1 \cdot m_2}}.\]

Сократим массу Земли \(m_1\):

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{m_1 \cdot 3,7^2}}{{81,3 \cdot m_2}}.\]

Подставим значение для \(m_2\):

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{m_1 \cdot 3,7^2}}{{81,3 \cdot \frac{1}{{81,3}}m_1}}.\]

Сократим выражение:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = 3,7^2.\]

Из этого результата видно, что сила тяжести на Луне будет 3,7^2, то есть примерно 13,69 раз меньше силы тяжести на Земле.