Как изменится численность карасей и щук в течение 30 периодов моделирования биологической системы щуки-караси

Милашка_7332

8

Чтобы решить задачу, будем использовать модель Лотки-Вольтерра, которая описывает взаимодействие двух популяций в экологии. В данном случае, мы рассматриваем взаимодействие популяций щук и карасей.

Для начала, опишем систему дифференциальных уравнений, которые будут описывать изменение численности популяций щук (Z) и карасей (N):

\[\frac{{dN}}{{dt}} = (K - bZ)N(1 - \frac{{N}}{{L}})\]

\[\frac{{dZ}}{{dt}} = -DZ + bZN\]

Где:

N - число особей карасей,
Z - число особей щук,
K - коэффициент роста карасей,
L - предельная численность карасей,
D - коэффициент смертности щук без пищи,
bN - коэффициент модели для численности карасей,
bZ - коэффициент модели для численности щук,
t - время.

Теперь можно приступить к моделированию системы. В нашем случае, мы будем моделировать систему в течение 30 периодов времени. Для начала, установим начальные значения численности карасей и щук:

N0 = 50
Z0 = 10

Затем, зададим все необходимые параметры:

K = 1
L = 100
D = 0.8
bN = 0.01
bZ = 0.012

Теперь, используя эти значения, мы можем решить систему дифференциальных уравнений численными методами. Мы будем использовать метод Рунге-Кутты четвёртого порядка для численного решения.

Программный код для решения этой задачи будет выглядеть так:

python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt



# Задаем параметры модели

K = 1

L = 100

N0 = 50

Z0 = 10

D = 0.8

bN = 0.01

bZ = 0.012

t = np.linspace(0, 30, 300)  # 30 периодов времени, разбитых на 300 точек



# Определяем функцию, описывающую систему дифференциальных уравнений

def dN_dt(N, Z):

    return (K - bZ*Z)*N*(1 - (N/L))



def dZ_dt(N, Z):

    return -D*Z + bZ*Z*N



# Решаем систему дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кутты

N, Z = np.zeros_like(t), np.zeros_like(t)

N[0], Z[0] = N0, Z0  # Устанавливаем начальные значения



for i in range(1, len(t)):

    dt = t[i] - t[i-1]

    dN = dN_dt(N[i-1], Z[i-1])

    dZ = dZ_dt(N[i-1], Z[i-1])

    N[i] = N[i-1] + dt * dN

    Z[i] = Z[i-1] + dt * dZ



# Строим графики

plt.plot(t, N, label="Численность карасей")

plt.plot(t, Z, label="Численность щук")

plt.xlabel("Период")

plt.ylabel("Численность")

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

Полученные графики будут отражать изменение численности карасей и щук в течение 30 периодов моделирования.