Как изменится длина волны λm максимума спектральной излучательной абсолютно черного тела при переходе от температуры

Валентиновна

52

Для решения данной задачи воспользуемся законом смещения Вина, который гласит, что продукт длины волны максимума спектральной плотности излучения и температуры абсолютно черного тела является постоянной величиной:

\[\lambda_m \cdot T = \text{const}.\]

В данной задаче необходимо найти, как изменится длина волны максимума при переходе от температуры \(T_1\) к температуре \(T_2\) при условии, что площадь, ограниченная графиком функции распределения плотности энергии равновесного излучения по длинам волн, увеличивается в 16 раз.

Обозначим исходные значения длины волны максимума и температуры как \(\lambda_{m_1}\) и \(T_1\) соответственно, а итоговые значения как \(\lambda_{m_2}\) и \(T_2\).

Используя закон смещения Вина, запишем соотношения для исходных и итоговых значений:

\[\lambda_{m_1} \cdot T_1 = \text{const},\]
\[\lambda_{m_2} \cdot T_2 = \text{const}.\]

Также, согласно условию задачи, площадь, ограниченная графиком функции распределения плотности энергии равновесного излучения по длинам волн, увеличивается в 16 раз. Это означает, что новая площадь будет равна 16 раз исходной:

\[\text{Новая площадь} = 16 \times \text{Исходная площадь}.\]

Поскольку площадь, ограниченная графиком функции распределения плотности энергии равновесного излучения по длинам волн пропорциональна квадрату длины волны максимума, получаем:

\[\frac{{\text{Новая площадь}}}{{\text{Исходная площадь}}} = \left(\frac{{\lambda_{m_2}}}{{\lambda_{m_1}}}\right)^2 = 16.\]

Решим данное соотношение относительно \(\lambda_{m_2}\):

\[\left(\frac{{\lambda_{m_2}}}{{\lambda_{m_1}}}\right)^2 = 16,\]

\[\frac{{\lambda_{m_2}}}{{\lambda_{m_1}}} = 4,\]

\[\lambda_{m_2} = 4 \cdot \lambda_{m_1}.\]

Таким образом, длина волны максимума спектральной излучательной абсолютно черного тела увеличится в 4 раза при переходе от температуры \(T_1\) к температуре \(T_2\), если площадь, ограниченная графиком функции распределения плотности энергии равновесного излучения по длинам волн увеличивается в 16 раз.