Как изменится ЭДС индукции, возникшая в рамке, если сторона рамки увеличится в 2 раза, а индукция магнитного поля

Zabludshiy_Astronavt

70

Для решения данной задачи нам нужно использовать закон электромагнитной индукции Фарадея. Этот закон утверждает, что ЭДС индукции в проводнике пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим проводником.

Математически, закон Фарадея формулируется следующим образом:

\[
\mathcal{E} = -\frac{{d\Phi}}{{dt}}
\]

Где \(\mathcal{E}\) - ЭДС индукции, \(\Phi\) - магнитный поток, а \(t\) - время.

В данной задаче говорится о том, что сторона рамки увеличивается в 2 раза, а индукция магнитного поля уменьшается в 4 раза за время. Давайте разберемся, как это повлияет на ЭДС индукции.

Пусть \(L_1\) и \(B_1\) соответственно обозначают исходные размеры стороны рамки и индукцию магнитного поля, а \(L_2\) и \(B_2\) - новые размеры и индукцию магнитного поля.

Известно, что площадь поверхности, ограниченной рамкой, пропорциональна квадрату стороны рамки:

\[
S_2 = k \cdot L_2^2
\]

где \(S_2\) - новая площадь поверхности, \(k\) - некоторая константа.

А также известно, что магнитный поток определяется умножением индукции магнитного поля на площадь поверхности:

\[
\Phi_2 = B_2 \cdot S_2
\]

Отсюда получаем:

\[
\Phi_2 = B_2 \cdot (k \cdot L_2^2)
\]

Теперь, чтобы найти изменение ЭДС индукции, вычтем из исходной ЭДС основанной на \(L_1\) и \(B_1\) новую ЭДС, основанную на \(L_2\) и \(B_2\):

\[
\Delta \mathcal{E} = \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1
\]

\[
\Delta \mathcal{E} = -\frac{{d\Phi_2}}{{dt}} - (-\frac{{d\Phi_1}}{{dt}})
\]

На данном этапе мы можем проигнорировать знак минус, так как в данной задаче не указано направление ЭДС.

Заменим магнитный поток нашим выражением:

\[
\Delta \mathcal{E} = -\frac{{d(B_2 \cdot (k \cdot L_2^2))}}{{dt}} + \frac{{d(B_1 \cdot (k \cdot L_1^2))}}{{dt}}
\]

Продифференцируем и приведем выражение к удобному виду:

\[
\Delta \mathcal{E} = -k \cdot (\frac{{d(B_2 \cdot L_2^2)}}{{dt}} - \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}})
\]

Теперь, заменим \(L_2\) на двойное значение и \(B_2\) на четвертое значение:

\[
\Delta \mathcal{E} = -k \cdot (\frac{{d(4 \cdot B_1 \cdot (2 \cdot L_1)^2)}}{{dt}} - \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}})
\]

Упростим эту формулу:

\[
\Delta \mathcal{E} = -k \cdot (\frac{{d(16 \cdot B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}} - \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}})
\]

Теперь заменим умножение на 16 на 4:

\[
\Delta \mathcal{E} = -k \cdot (\frac{{d(4 \cdot B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}} - \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}})
\]

Теперь проведем расчеты:

\[
\Delta \mathcal{E} = -k \cdot (4 \cdot \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}} - \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}})
\]

Упростим выражение:

\[
\Delta \mathcal{E} = -3k \cdot \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}}
\]

Мы получили окончательное выражение для изменения ЭДС индукции:

\[
\Delta \mathcal{E} = -3k \cdot \frac{{d(B_1 \cdot L_1^2)}}{{dt}}
\]

Из выражения видно, что изменение ЭДС индукции будет пропорционально скорости изменения произведения \(B_1 \cdot L_1^2\), а именно увеличиваться в 3 раза.

Таким образом, если сторона рамки увеличивается в 2 раза, а индукция магнитного поля уменьшается в 4 раза, то ЭДС индукции в рамке изменится пропорционально \(3 \cdot (2 \cdot 2^2)\), что равно 24 раза.