Как изменится положение магнитной стрелки, когда она находится в центре кругового тока iк радиусом a, и рядом с

Чудесный_Король

23

Когда магнитная стрелка находится в центре кругового тока радиусом \(a\), она ориентирована по правилу левой руки. По правилу левой руки, указательный палец направлен по направлению тока витка, а большой палец указывает в сторону создаваемого магнитного поля.

\[
\text{Таким образом, в этом случае, магнитная стрелка установится перпендикулярно к плоскости витка и указывает вверх.}
\]

Теперь рассмотрим влияние прямолинейного проводника с током \(i_{\text{п}} = \pi i_{\text{к}}\) на положение магнитной стрелки. Для определения направления магнитного поля в точке, где находится магнитная стрелка, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит:

\[
d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}i_{\text{п}},
\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(d\vec{l}\) - элемент длины провода, \(\vec{r}\) - вектор, направленный от элемента провода к точке наблюдения, \(r\) - расстояние между элементом провода и точкой наблюдения, и \(i_{\text{п}}\) - ток в проводнике.

Чтобы упростить вычисления, рассмотрим только вертикальную составляющую магнитного поля, так как горизонтальная составляющая не будет оказывать влияния на положение стрелки. Проводник находится на расстоянии \(a\) от центра витка, поэтому мы можем разделить вектор \(\vec{r}\) на две составляющие: \(r_y\), отвечающую за вертикальное расстояние, и \(r_x\), отвечающую за горизонтальное расстояние.

Пусть \(L_{\text{п}}\) - длина провода и \(N\) - количество витков в круговом токе. Тогда, длина одного витка провода равна \(2\pi a\) и соответственно \(d\vec{l} = dl_y \cdot \vec{j}\), где \(dl_y\) - длина элемента провода, соответствующая вертикальному расстоянию \(r_y\), и \(\vec{j}\) - единичный вектор, направленный вертикально вверх.

Теперь мы можем записать элемент магнитного поля от элемента провода с током:

\[
d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dl_y \cdot \vec{j} \times (r_x \cdot \vec{i} + r_y \cdot \vec{j})}{(r_x^2 + r_y^2)^{3/2}} \cdot i_{\text{п}}.
\]

При вычислении векторного произведения, мы получаем:

\[
\vec{j} \times (r_x \cdot \vec{i} + r_y \cdot \vec{j}) = -r_x \cdot \vec{k},
\]

где \(\vec{i}\) и \(\vec{k}\) - единичные векторы, направленные вдоль осей \(x\) и \(z\) соответственно.

Подставим эти значения в выражение для элемента магнитного поля:

\[
d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{-dl_y \cdot r_x \cdot \vec{k}}{(r_x^2 + r_y^2)^{3/2}} \cdot i_{\text{п}}.
\]

Применяя формулу для длины элемента провода \(dl_y = \frac{L_{\text{п}}}{N}\), получим:

\[
d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{-\frac{L_{\text{п}}}{N} \cdot r_x \cdot \vec{k}}{(r_x^2 + r_y^2)^{3/2}} \cdot i_{\text{п}}.
\]

Суммируем влияние всех элементов провода для определения общего магнитного поля в точке, где находится магнитная стрелка:

\[
\vec{B} = \int d\vec{B} = \int \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{-\frac{L_{\text{п}}}{N} \cdot r_x \cdot \vec{k}}{(r_x^2 + r_y^2)^{3/2}} \cdot i_{\text{п}}.
\]

Так как проводник расположен на расстоянии \(a\) от центра витка, вертикальное расстояние \(r_y\) равно \(0\), и у нас остается только горизонтальная составляющая \(r_x = -a\). Подставляем эти значения и выносим константы за знак интеграла:

\[
\vec{B} = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{L_{\text{п}}}{N} \cdot \vec{k} \int \frac{1}{(-a^2 + r_x^2)^{3/2}} \cdot i_{\text{п}}.
\]

Интегрируя, мы получаем:

\[
\vec{B} = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{L_{\text{п}}}{N} \cdot \vec{k} \left(-\frac{r_x}{a^2 \cdot \sqrt{a^2 - r_x^2}}\right) \cdot i_{\text{п}}.
\]

Теперь, рассмотрим положение магнитной стрелки в этом магнитном поле. Магнитная стрелка будет ориентироваться вдоль направления магнитного поля, таким образом, она будет расположена в направлении \(-\vec{B}\).

Так как \(r_x = -a\), подставим этот результат в выражение для магнитного поля:

\[
\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{L_{\text{п}}}{N} \cdot \vec{k} \left(-\frac{-a}{a^2 \cdot \sqrt{a^2 - (-a)^2}}\right) \cdot i_{\text{п}}.
\]

Упрощаем выражение:

\[
\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{L_{\text{п}}}{N} \cdot \vec{k} \left(-\frac{-a}{a^2 \cdot \sqrt{2a^2}}\right) \cdot i_{\text{п}}.
\]

Сокращаем сомножители:

\[
\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{L_{\text{п}}}{N} \cdot \vec{k} \left(\frac{1}{\sqrt{2}a}\right) \cdot i_{\text{п}}.
\]

Теперь мы можем увидеть, что магнитная стрелка будет расположена против часовой стрелки относительно плоскости витка и проводника.

Для того чтобы предоставить вам более наглядное представление, представлю рисунок:

  против часовой стрелки

  --->  <---

  v     ^

/       |        \

/        |         \

/--------------------\

вверх

Таким образом, положение магнитной стрелки изменится, и она будет указывать против часовой стрелки относительно плоскости витка и проводника.