Под каким углом световой луч, исходящий из вакуума, должен падать на поверхность вещества с показателем преломления

Турандот

39

Задача: Под каким углом световой луч, исходящий из вакуума, должен падать на поверхность вещества с показателем преломления, равным \(\sqrt{3}\), чтобы угол, под которым луч преломляется, был в два раза меньше угла падения?

A. Под каким углом световой луч должен падать?

Давайте решим данную задачу. Для этого вначале воспользуемся законом преломления света, который гласит, что отношение синусов углов падения и преломления равно отношению показателей преломления двух сред:

\[\frac{\sin(\text{угол падения})}{\sin(\text{угол преломления})} = \frac{n_2}{n_1}\]

Где \(n_1\) - показатель преломления первой среды (вакуума), \(n_2\) - показатель преломления второй среды (вещества).

В нашем случае, показатель преломления вакуума равен 1, так как свет распространяется в вакууме, а показатель преломления вещества равен \(\sqrt{3}\). Из условия задачи известно, что угол преломления должен быть в два раза меньше угла падения, то есть:

\[\text{угол преломления} = \frac{\text{угол падения}}{2}\]

Подставим эти значения в закон преломления:

\[\frac{\sin(\text{угол падения})}{\sin\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)} = \frac{\sqrt{3}}{1}\]

Для решения этого уравнения нам понадобится знание тригонометрической функции. В данном случае, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством:

\[\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]

Применим это тождество к нашему уравнению:

\[\frac{\sin(\text{угол падения})}{2\sin\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)\cos\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)} = \frac{\sqrt{3}}{1}\]

Упростим уравнение, сократив на 2:

\[\frac{\sin(\text{угол падения})}{\sin\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)\cos\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь рассмотрим отдельно два случая:

1. При угле падения на поверхность вещества равном 0 градусов, можно заметить, что и угол преломления будет равен 0 градусов. Это связано с особенностями преломления вещества с показателем преломления, равным \(\sqrt{3}\).

2. Рассмотрим случай, когда угол падения больше 0 градусов. Мы можем сократить уравнение, разделив его на \(\sin\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)\cos\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)\):

\[\frac{\sin(\text{угол падения})}{\sin\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)\cos\left(\frac{\text{угол падения}}{2}\right)} = \frac{\sin(\text{угол падения})}{\frac{1}{2}\sin(\text{угол падения})\cos(\text{угол падения})} = 2\frac{\cos(\text{угол падения})}{\sin(\text{угол падения})} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, используя таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор, найдем такой угол падения \(\alpha\), при котором выполняется данное уравнение:

\[\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Округлим результат до ближайшего градуса. Получается, что угол падения должен быть примерно равен 30 градусам.

Итак, ответ на вопрос A: Световой луч должен падать под углом примерно 30 градусов.

B. Какой угол падения должен быть?

Мы уже определили, что угол падения должен быть примерно 30 градусов.

Итак, ответ на вопрос B: Угол падения должен быть примерно 30 градусов.