Как изменится сила всемирного тяготения, если массу одного тела увеличить в 4 раза, а расстояние между телами уменьшить

Bublik_3536

31

Для начала рассмотрим, как выглядит формула для силы всемирного тяготения:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где:
- \( F \) - сила притяжения между двумя телами,
- \( G \) - гравитационная постоянная (приближенное значение равно \( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 / (\text{кг} \cdot \text{с}^2) \)),
- \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы этих двух тел,
- \( r \) - расстояние между телами.

Теперь, когда у нас есть формула, мы можем приступить к решению задачи.

Пусть \( F_1 \) - сила притяжения до изменений, \( m_1 \) - масса одного тела до изменений, а \( r \) - расстояние до изменений.

Согласно условию задачи, мы знаем, что масса одного тела увеличена в 4 раза, то есть новая масса будет равна \( 4 \cdot m_1 \). Расстояние между телами уменьшилось в 2 раза, то есть новое расстояние будет равно \( \frac{1}{2} \cdot r \).

Теперь мы можем записать формулу для новой силы \( F_2 \) после изменений:

\[ F_2 = \frac{{G \cdot (4 \cdot m_1) \cdot m_2}}{{(\frac{1}{2} \cdot r)^2}} \]

Чтобы проанализировать, как изменится сила притяжения, нам нужно рассмотреть отношение новой силы к старой:

\[ \frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{\frac{{G \cdot (4 \cdot m_1) \cdot m_2}}{{(\frac{1}{2} \cdot r)^2}}}}{{\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}}} \]

Произведем некоторые преобразования для упрощения:

\[ \frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{4 \cdot m_1 \cdot m_2}}{{(\frac{1}{2} \cdot r)^2}} \cdot \frac{{r^2}}{{m_1 \cdot m_2}} \]

Далее, нам нужно упростить выражение:

\[ \frac{{F_2}}{{F_1}} = 4 \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{\frac{1}{4} \cdot r^2 \cdot m_1 \cdot m_2}} = 4 \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{\frac{1}{4} \cdot r^2 \cdot m_1 \cdot m_2}} = 4 \cdot 4 = 16 \]

Итак, после изменений сила притяжения между телами увеличится в 16 раз. Это означает, что после изменений сила всемирного тяготения будет в 16 раз сильнее, чем до изменений.