Как изменится сила всемирного тяготения, если расстояние между однородными шарами увеличится в 4 раза, а расстояние

Polina

22

Чтобы ответить на данную задачу, нам необходимо использовать закон всемирного тяготения, который формулируется следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- \(F\) - сила всемирного тяготения между двумя телами,
- \([k = 6.67 \cdot 10^{-11} \, Н \cdot м^2 / кг^2]\) - гравитационная постоянная,
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел,
- \(r\) - расстояние между центрами масс тел.

Для решения задачи, проведем ряд необходимых вычислений.

Пусть \(F_0\) - исходная сила всемирного тяготения, \(r_0\) - исходное расстояние между центрами шаров.
Тогда, согласно условию задачи, мы имеем:
- \(r = 2 \cdot r_0\) (расстояние между центрами увеличится в 2 раза),
- \(r_0 = \frac{{r}}{{2}}\) (искомое исходное расстояние между однородными шарами),
- \(r_0 = \frac{{r}}{{4}}\) (искомое исходное расстояние между шарами).

Теперь мы можем получить выражение для новой силы всемирного тяготения \(F"\), используя модифицированные значения расстояний:
\[F" = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r"^2}}\]

Вместо \(r"\) подставим искомые значения: \(r" = 4 \cdot r_0\) (расстояние между однородными шарами увеличится в 4 раза).
Теперь можем выразить новую силу \(F"\):
\[F" = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{(4 \cdot r_0)^2}}\]

Итак, расписывая формулу \(F"\), получаем:
\[F" = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{16 \cdot r_0^2}}\]

После сокращения значений в знаменателе, получим:
\[F" = \frac{{\frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r_0^2}}}}{16}\]

Таким образом, если расстояние между однородными шарами увеличится в 4 раза, а расстояние между их центрами увеличится в 2 раза, сила всемирного тяготения уменьшится в 16 раз. Это объясняется обратной зависимостью между силой тяготения и квадратом расстояния между телами.