Каков объем аэростата на высоте 4320 метров при температуре воздуха 260 К и давлении 760 мм ртутного столба? Объем

Magicheskiy_Tryuk

25

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать основную формулу состояния газа - уравнение Клапейрона. Оно выглядит следующим образом:

\[PV = nRT\]

Где:
P - давление газа
V - его объем
n - количество вещества
R - универсальная газовая постоянная
T - температура в Кельвинах

Нам даны следующие значения:

T = 260 K (температура воздуха)
P = 760 мм рт. ст. (давление)
V = ? (искомый объем)

Нам также дано значение объема аэростата при нормальных условиях (нормальное давление и температура). Обозначим его как \(V_{\text{норм}}\), и оно равно 4200.

Для решения задачи нам нужно привести данные к одним и тем же условиям. У нас есть показатели давления и температуры на высоте 4320 метров, но они не являются нормальными условиями. Как мы узнаем, P и T в уравнении Клапейрона должны быть в одинаковых единицах измерения.

Для начала, мы должны привести давление к единицам измерения в Паскалях. Зная, что 1 атмосфера (атм) равна 101325 Па (паскалям), мы можем преобразовать давление из мм рт. ст. в Паскали:

\[P_{\text{Па}} = P_{\text{мм рт. ст.}} \times 133.322\]

Теперь, чтобы привести температуру к Кельвинам, мы должны добавить 273,15 к значению в градусах Цельсия:

\[T_{\text{К}} = T_{\text{°C}} + 273.15\]

Теперь мы можем подставить все значения в уравнение Клапейрона:

\[PV = nRT\]

Мы хотим найти значение V, поэтому мы можем переписать уравнение так:

\[V = \frac{{nRT}}{P}\]

Так как у нас нет информации о количестве вещества (n), мы предположим, что аэростат это идеальный газ и количество вещества может быть опущено из уравнения. Также, поскольку нас интересует только изменение объема, мы можем записать:

\[\frac{{V_{\text{норм}}}}{V} = \frac{{P_{\text{норм}} \cdot T_{\text{норм}}}}{P \cdot T}\]

Здесь \(P_{\text{норм}}\) и \(T_{\text{норм}}\) - нормальное давление и температура, соответственно.

Мы знаем, что \(P_{\text{норм}} = 101325 \, \text{Па}\) и \(T_{\text{норм}} = 273 \, \text{К}\), поэтому:

\[\frac{{V_{\text{норм}}}}{V} = \frac{{101325 \times 273}}{P \cdot T}\]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение V:

\[V = \frac{{V_{\text{норм}} \cdot P \cdot T}}{{101325 \cdot 273}}\]

Подставляя значения, мы получим:

\[V = \frac{{4200 \times 760 \times 260}}{{101325 \times 273}} \approx 3680 \, \text{м}^3\]

Таким образом, объем аэростата на высоте 4320 метров составляет приблизительно 3680 метров кубических.